Calcule la masa de un agujero negro de Schwarzchild con la integral de Komar [cerrado]

En GR de Wald, la integral de Komar es la ecuación. (11.2.9):

$$M=-\frac{1}{8\pi}\int_S\epsilon_{abcd}\nabla^c\xi^d$$

$S$se puede elegir como una esfera de 2, el límite de una hipersuperficie similar al espacio$\Sigma$tal que el vector Killing similar al tiempo$\xi^a=(\partial_t)^a$es normal para$\Sigma$. Aquí, el sistema de coordenadas es el correspondiente a la siguiente métrica

$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$

Por lo tanto, el elemento de volumen es$\epsilon_{abcd}=r^2\sin\theta (dt)_a\wedge(dr)_b\wedge(d\theta)_c\wedge(d\phi)_d$y por lo tanto,

$$M=-\frac{1}{8\pi}\int_Sr^2\sin\theta (dt)_a\wedge(dr)_b\wedge(d\theta)_c\wedge(d\phi)_d\nabla^c(\partial_t)^d\\ =\frac{1}{8\pi}\int r^2\sin\theta \nabla^r(\partial_t)^td\theta d\phi$$

Aquí,$\nabla^r(\partial_t)^t=g^{rr}\Gamma^t_{rt}=M/r^2$. Puede consultar el GR de Sean Carroll para encontrar los símbolos de Christoffel.

Entonces,$M=\frac{1}{8\pi}\int M\sin\theta d\theta d\phi=M/2$, una contradicción. ¿Qué está mal con mi cálculo?