Diferencia entre marcos propios y comóviles

Limitémonos al caso de la relatividad especial según los comentarios de la publicación original.

Dejar$x^\mu(t) = (t, \mathbf x(t))$ser la trayectoria de una partícula similar al tiempo medida en el marco del laboratorio. En algún marco inercial. Supongamos que en algún instante$t_0$, la partícula se mide para tener velocidad cero en este marco;

$$\frac{d \mathbf x}{dt}(t_0) = 0$$ Entonces, este marco inercial, por definición, se mueve con la partícula en el tiempo $t_0$. Permitiéndonos un ligero abuso de notación, supongamos que $t(\tau)$da el tiempo de inercia en función del tiempo propio. Entonces nosotros tenemos $$\frac{d}{d\tau}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau}(\tau)$$ y $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t(\tau))\left[\frac{dt}{d\tau}(\tau)\right]^2 +\frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{d^2t}{d\tau^2}(\tau)$$ evaluar esto en $\tau_0$satisfactorio $t(\tau_0) = t_0$; en otras palabras $\tau_0$es solo el momento adecuado en el que los marcos se están moviendo. El segundo término se anula por el supuesto de comovimiento, además el factor $\frac{dt}{d\tau}(\tau_0)$simplemente es igual $1$porque recuerda que $dt = \gamma d\tau$y dado que la partícula está momentáneamente en reposo con respecto al marco commóvil, $\gamma = 1$en ese instante Por lo tanto, obtenemos $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau))\Big|_{\tau = \tau_0} = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t_0)$$ El lado izquierdo es la aceleración adecuada en el "instante de movimiento" de la partícula por definición. El lado derecho es la aceleración medida por el observador comóvil, así que esta es la igualdad que querías.