Integral de la solución autosimilar de Sedov al problema de la onda expansiva esférica

Question

Integral de la solución autosimilar de Sedov al problema de la onda expansiva esférica

Física
ondas de choque
dinámica de fluidos
método numérico

pppqqq

Estoy estudiando la solución autosimilar de Taylor-Sedov al problema de una fuerte explosión en una atmósfera homogénea. El problema se discute en Landau & Lifschitz VI (en la segunda edición es §106). En estas notas hay una reproducción de la derivación de Landau, que resuelve analíticamente el problema (creo que la solución original se debe a Sedov).

en pocas palabras ( $R$ es el radio del choque, $r$ es la coordenada radial, las cantidades con $_0$ son las cantidades imperturbadas frente al choque). ingrese la descripción de la imagen aquí

La última integral es derivada por Landau y en las notas anteriores por consideraciones energéticas (es decir, requiriendo que la energía dentro de un radio $\eta R$ con $\eta \in (0,1)$ permanece constante en el tiempo).

Ahora, los EDO anteriores para $f,\phi,\psi$ fueron resueltos numéricamente por GI Taylor en 1941. Ver aquí . Estoy comparando la solución analítica con la solución numérica de Taylor, y mirando la tabla de valores en la página 164, me di cuenta de que la integral anterior está lejos de conservarse. La identidad se satisface en $\eta = 1$ pero para $\eta = 0.5$ la diferencia entre LHS y RHS es de aproximadamente $62$ !

Estoy confundido: ¿es la integral anterior una restricción adicional, derivada de consideraciones físicas, que permite resolver analíticamente las ecuaciones de movimiento? Yo creo que no es así, la solución a este problema debe ser única y por lo tanto tiene que satisfacer la relación.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Para mayor claridad, en el libro de Landau, la adimensionalización se realiza de una manera ligeramente diferente:

tu = \frac{2 r}{5 t} V = tu \cdot V, ρ = ρ_{0} GRAMO, C^{2} = γ \frac{pag}{ρ} = \frac{4 r^{2}}{25 t^{2}} Z = {tu}^{2} Z,

$u=\dfrac{2r}{5t}V=U\cdot V,\quad \rho = \rho _0 G,\quad c^2=\gamma\dfrac {p}{\rho}=\dfrac{4r^2}{25t^2}Z=U^2Z,$ y la integral se escribe como:

Z = \frac{γ (γ - 1) (1 - V) V^{2}}{2 (γ V - 1)} .

$Z=\dfrac{\gamma(\gamma-1)(1-V)V^2}{2(\gamma V-1)}.$ Volviendo a las variables de Taylor, se encuentra:

V = ϕ, GRAMO = ψ, Z = F / ψ

$V=\phi,\quad G=\psi,\quad Z=f/\psi$ y así la relación anterior.

ACTUALIZAR

Había cometido un error tonto en la conversión de $Z,V,G$ a $\phi, f,\psi$ coordenadas Las relaciones correctas son:

η^{2} Z = F / ψ, η V = ϕ .

$\eta ^2 Z = f/\psi,\qquad\eta V = \phi.$ Con estas sustituciones, la integral queda:

F = \frac{γ (γ - 1)}{2} \frac{η - ϕ}{γ ϕ - η} ϕ^{2} ψ

$f=\dfrac{\gamma(\gamma-1)}{2}\dfrac{\eta-\phi}{\gamma \phi -\eta}\phi ^2 \psi$ y se conserva perfectamente a lo largo de mi solución numérica.

pppqqq

Si puedo hacer algo para mejorar mi pregunta, házmelo saber.

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Integral de la solución autosimilar de Sedov al problema de la onda expansiva esférica

Si puedo hacer algo para mejorar mi pregunta, házmelo saber.

kyle kanos · Answer 1

En la página 38 de las notas de la conferencia, el autor dice:

Como la energía es independiente del tiempo, la integral de superficie debe ser cero. Los términos en el integrando son independientes del ángulo y, por lo tanto, el propio integrando debe ser cero

donde la integral en cuestión está en la página 37,

\int_{Ω} [ρ V (\frac{1}{2} V^{2} + h) - (ε + \frac{1}{2} ρ V^{2}) \frac{d r}{d t}] r^{2} d Ω

$\int_\Omega\left[\rho V\left(\frac12V^2+h\right)-\left(\varepsilon+\frac12\rho V^2\right)\frac{dr}{dt}\right]r^2d\Omega$ Luego, en la página 41

Como tenemos la primera integral de las ecuaciones, el número de ecuaciones independientes ahora se reduce de tres a dos.

Entonces, el método integral de energía en sí mismo introduce una restricción basada en el hecho de que la energía se conserva. De ahí la reducción de 3 a 2 ecuaciones.

Estados de Zel'dovich

Utilizando un método brillante, que empleó la energía integral, Sedov logró encontrar una solución analítica exacta para las ecuaciones del movimiento autosimilar.

lo que realza el punto de que se hizo para encontrar la solución analítica.

Obviamente, las dos soluciones deben coincidir en $\eta=1$ porque es una condición de contorno. Menos que eso, no me convence la relación,

Z = \frac{γ (γ - 1)}{2} \frac{V^{2} (1 - V)}{γ V - 1}

$Z=\frac{\gamma(\gamma-1)}{2}\frac{V^2(1-V)}{\gamma V-1}$ Está satisfecho. Tenga en cuenta que como

η \to 0

$\eta\to0$ ,

V \to 0

$V\to0$ . Cuando

V \to 0

$V\to0$ , el RHS anterior se vuelve negativo (ocurre en

η = 0.92

$\eta=0.92$ utilizando la tabla de Taylor). Desde

Z

$Z$ representa la relación de presión y densidad, ambas no negativas, no veo cómo esta condición puede ser válida para

η \neq 1

$\eta\neq1$ .

Ambos conjuntos de soluciones son válidos hasta cierto grado de precisión. Frank Timmes , junto con James Kamm, resolvieron nuevamente el problema de Sedov (para sistemas de coordenadas genéricos (dimensión $j$ ) y con perfil de ambiente externo genérico, $\rho(r)=\rho_0r^{-\omega}$ ) y obtiene números similares a Sedov para el $j=2,\,\omega=0$ caso (fuera en el tercer o cuarto lugar decimal en algunos lugares, consulte el documento de Kamm, Bolstead (RIP) y Timmes en el enlace anterior).
Taylor, por otro lado, usó un solucionador aproximado para la ODE. Aquí es donde radica cualquier diferencia entre los dos: métodos numéricos versus solución analítica. Tracé las tres soluciones (Taylor, Timmes y Sedov) para la densidad (escala al pico) para el $j=2,\,\gamma=1.4$ caso, para que pueda ver la divergencia menor ingrese la descripción de la imagen aquí

El hecho de que $f(\eta)/\psi(\eta)$ no coincide con el RHS para $\eta<1$ no significa que la solución sea incorrecta , solo significa que la relación solo es válida para $\eta=1$ .

Hola @Kyle Kanos, gracias. Estoy totalmente de acuerdo con tu último punto, pero ahora estoy confundido. Supongo que el problema de Cauchy para " $\psi$ , $\phi$ , $f$ ", o $V,Z,G$ , con las relaciones de Rankine-Hugoniot como condiciones iniciales tiene solución única. Mejor, que el problema fluidodinámico, con el dato de $E$ , la energía liberada en $t=0$ , tiene solución única. Entonces me parece obligatorio que la solución numérica converja a la analítica obtenida por el truco de la energía. ¿Por qué no es así?
@pppqqq: actualicé mi respuesta en relación con su comentario.
Acabo de descubrir que había cometido un error tonto en las conversiones entre las variables de Sedov $V,Z,G$ y de taylor $\psi, \phi, f$ ; las relaciones correctas son $V=\phi/\eta$ , $\eta^2 Z=f/\psi$ . Con esta corrección, mi solución coincide exactamente con la de Timmes y la integral se conserva perfectamente. ¡Muchas gracias por señalarme esos papeles!

Integral de la solución autosimilar de Sedov al problema de la onda expansiva esférica

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