breve introducción

El término no lineal o término de empinamiento,$\left( \mathbf{V} \cdot \nabla \right) \mathbf{V}$, determina la velocidad de empinamiento de una ola. Esto se puede equilibrar/compensar con términos de pérdida como la dispersión (p. ej.,$\propto \ \beta \ \partial_{x}^{3} v$), difusión , viscosidad (p. ej.,$\propto \ \nu \ \partial_{x}^{2} v$), resistividad , fricción (p. ej.,$\propto \ \zeta \ v$), etc. Si el término de pérdida domina sobre el término no lineal, entonces la onda no puede empinarse porque hay demasiado amortiguamiento. Si el término de pérdida equilibra el término no lineal y es irreversible , se puede iniciar una onda de choque cuando la onda que se acentúa se acerca a una catástrofe de gradiente (es decir, el punto donde se produce la ruptura de la onda ).

Puede pensar que los efectos dispersivos actúan para "extender" las escalas espaciales en la onda, mientras que el término no lineal actúa para "enfocar" las escalas espaciales. En sistemas completamente no lineales, los términos de pérdida a menudo dependen del gradiente en la escala espacial del frente de onda. Esto significa que los términos suelen ser pequeños/insignificantes hasta que las escalas espaciales del frente de onda se vuelven pequeñas y, por lo tanto, los gradientes grandes.

Extracto
- de: Sagdeev, [1966] en Rev. Plasma Phys. vol. 4, pág. 21 (de 69):

Los efectos disipativos (viscosidad, conductividad térmica, etc.) introducen irreversibilidad y aumentan el orden de las derivadas en un número impar (por ejemplo, la viscosidad implica la adición de un término que contiene una segunda derivada en la ecuación de Euler en dinámica de gases). Los efectos de dispersión, por otro lado, no afectan la reversibilidad y aumentan el orden de las derivadas en las ecuaciones en un número par.

Curiosamente, la dispersión no es un término irreversible porque aumenta el orden de las derivadas en las ecuaciones en un número par. Los otros términos de pérdida que mencioné aumentan el orden de las derivadas en las ecuaciones en un número impar, introduciendo así la irreversibilidad. Por lo tanto, la dispersión puede regular un choque una vez formado, pero no puede iniciarlo.

Puede encontrar un enlace al artículo de Sagdeev aquí . Aunque el enlace no contiene el archivo PDF, desafortunadamente.

Ejemplo de onda dispersiva

Un ejemplo es una onda de sonido dispersivo que tiene una relación de dispersión aproximada por:

$$\omega\left( k \right) \simeq k \ C_{s} - \beta \ k^{3}$$ dónde $C_{s}$es la velocidad de fase del modo (aquí la velocidad del sonido), $\beta$es el parámetro dispersivo (a menudo se supone que es pequeño), $k$es el número de onda, y $\omega$es la frecuencia angular de la onda. En general, una onda de sonido aumentaría en ausencia de pérdidas porque $C_{s}$es proporcional a la amplitud de la onda.

Por ejemplo, en la siguiente animación se puede ver que el pulso del solitón inicialmente simétrico comienza a aumentar (es decir, la longitud de la escala del gradiente disminuye asimétricamente) a medida que se propaga. Esto se debe a que el pico del pulso se propaga más rápido que las partes de menor amplitud del pulso. Por lo tanto, las partes de mayor amplitud de la onda pueden superar a las partes de menor amplitud, lo que da como resultado una especie de acumulación en la dirección de propagación. Si no hubiera pérdidas, las partes de mayor amplitud (más rápidas) del pulso podrían sobrepasar las partes de menor amplitud (más lentas), lo que daría como resultado una solución de múltiples valores. Esta es la catástrofe del gradiente o rompimiento de la ola, a la que eludí más arriba.

En un plasma sin colisiones , el término dispersivo en realidad puede regular la inclinación de un frente de choque. Esto ocurre porque la onda de choque es una onda rápida/magnetosónica dispersiva empinada no linealmente (que resulta ser una versión compresiva de una onda de modo de silbido).en las condiciones adecuadas). La naturaleza dispersiva de la onda magnetosónica-silbato es tal que las longitudes de onda (frecuencias) más pequeñas (más grandes) se propagan más rápido que lo contrario. Entonces, a medida que el modo aumenta, la longitud de escala de gradiente más pequeña del borde inclinado hace que el borde se acople a longitudes de onda cada vez más cortas. El resultado final puede ser un tren de ondas de silbidos magnetosónicos aguas arriba de la rampa de choque. Si esas ondas transportan energía/impulso lejos del frente de choque, entonces actuarán como un mecanismo de pérdida que puede limitar la inclinación de la rampa de choque.

Ecuación de Korteweg-de Vries

En el caso de una de las formas de la ecuación de Korteweg-de Vries , podemos escribir:

$$\partial_{t} v + \left( C_{s} + v \right) \partial_{x} v + \beta \ \partial_{x}^{3} v = 0$$ dónde $\partial_{j}$= $\partial/\partial \ j$(es decir, no estoy usando formas covariantes vs. contravariantes aquí, solo soy perezoso), $\partial_{x}^{3}$= $\partial_{xxx}$= $\partial^{3}/\partial \ x^{3}$o la tercera derivada parcial con respecto a $x$, $C_{s}$es la velocidad de fase del modo, y $\beta$es una constante que afecta la tasa de pérdida dispersiva. Si $\lvert \beta \ \partial_{x}^{3} v \rvert > \lvert \left( C_{s} + v \right) \partial_{x} v \rvert$aquí, entonces las pérdidas dispersivas pueden limitar (o incluso prevenir) el empinamiento de la ola.

Tenga en cuenta que la ecuación de Korteweg-de Vries-Burgers incluye un término de pérdida adicional$\propto -\nu \ \partial_{x}^{2} v$, dónde$\nu$es una viscosidad cinemática .

Aplicación de ejemplo

Aquí hay un ejemplo de empinamiento de onda no lineal que creé usando Mathematica. Esto fue en respuesta a una pregunta que publiqué en el sitio de Mathematica Stack Exchange aquí . El pulso está destinado a representar una onda magnetosónica no lineal utilizando el método descrito por Shukla et al. , [2004].

Puede ver que la solución inicial similar a un solitón comienza a distorsionarse y la longitud de la escala de gradiente del lado derecho disminuye. Dado que Mathematica es demasiado "inteligente" para su propio bien a veces (al menos para aquellos que no son susurros de Mathematica ), el código llega a una "solución rígida" antes de que la ola rompa o choque, dependiendo de cómo se traten los términos de pérdida.

Referencias

• Coroniti, FV "Discontinuidades de disipación en ondas de choque hidromagnéticas", J. Plasma Phys. 4 , 265, doi:10.1017/S0022377800004992, (1970).
• Krasnoselskikh, VV, B. Lembège, P. Savoini y VV Lobzin "No estacionariedad de choques cuasiperpendiculares fuertes sin colisión: teoría y simulaciones numéricas de partículas completas", Phys. Plasmas 9 , 1192-1209, doi:10.1063/1.1457465, (2002).
• Shukla, PK, B. Eliasson, M. Marklund y R. Bingham "Modelo no lineal para choques magnetosónicos en plasmas", Phys. Plasmas 11 (5), págs. 2311-2313, doi:10.1063/1.1690297, (2004).
• Tidman, DA y TG Northrop "Emisión de ondas de plasma por el arco de choque de la Tierra", J. Geophys. Res. 73 , 1543–1553, doi:10.1029/JA073i005p01543, (1968).