Lugar geométrico del punto medio de las intersecciones de tangentes a una elipse

la elipse tiene ecuacion

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$$ Aplicar $\frac{d}{dx}$usted obtiene

$$\begin{align} \frac x8 + \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx}&=0 \\ \implies \frac{dy}{dx} & = -\frac{9x}{16y} \end{align}$$

es decir, en un punto$(x,y)$en la elipse, la tangente tiene pendiente$-\frac{9x}{16y}$.

Parametrizar la elipse como$(x(t),y(t))=(4cost,3sint)$dónde$0≤t<2 \pi$. Entonces en tal punto, la tangente tiene pendiente$-\frac{9(4cost)}{16(3sint)}=-\frac 34 cot(t)$, de modo que la ecuación de la tangente es

$$y=-\frac 34 x cot(t)+3csc(t)$$

Esta línea se cruza con la$x$y$y$ejes en los puntos$(4sec(t),0)$y$(0,3csc(t))$respectivamente. El punto medio entre estos dos puntos sería$(2sec(t),1.5csc(t))$, y recuerda que$0≤t<2\pi$.

Entonces, en forma paramétrica, el lugar geométrico de los puntos medios de las tangentes es

$$\begin{align} & x=\frac{2}{cos(t)} \\ & y=\frac{3}{2sin(t)} \\ \end{align}$$

es decir$\frac 1x = \frac 12 cos(t)$y$\frac 1y = \frac 23 sin(t)$, y observamos que satisfacen$4 \frac {1}{x^2} + \frac 94 \frac {1}{y^2} = 1$, por eso

$$\frac{16}{x^2}+\frac{9}{y^2}=4$$ según sea necesario.

La ecuación de la tangente de la elipse es

$$\frac{xx_1}{16}+\frac{yy_1}{9}=1$$

Supongamos que el punto medio de las intersecciones de la tangente es$(h,k)$

Las intersecciones hechas por la tangente en los ejes de coordenadas son$(\frac{16}{x_1},0)$y$(0,\frac{9}{y_1})$en los ejes x e y respectivamente.

Desde$(h,k)$será el punto medio de los segmentos de línea que unen las intersecciones,

$h=\frac{16}{2x_1}=\frac{8}{x_1}$y$k=\frac{9}{2y_1}$

Entonces,

$$x_1=\frac{8}{h}$$ y $$y_1=\frac{9}{2k}$$

Pero desde$x_1$y$y_1$son puntos en la elipse,

$$\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{9}=1$$

$$\implies \frac{1}{16}(\frac{64}{h^2})+\frac{1}{9}(\frac{81}{4k^2})=1$$

Entonces,

$$\frac{4}{h^2}+\frac{9}{4k^2}=1$$ $$\implies\frac{16}{h^2}+\frac{9}{k^2}=4$$

Entonces, lugar geométrico del punto$(h,k)$es

$$\frac{16}{x^2}+\frac{9}{y^2}=4$$ Refiérase a esta imagen para ver el gráfico de la función