¿Los electrones se mantienen unidos por la energía del vacío?

Si uno modela el electrón como un conductor esférico hueco con carga mi y radio a entonces su energía electrostática viene dada por:

mi mi metro = 1 2 mi 2 4 π ϵ 0 a

Sin embargo, si uno calcula el momento en el campo de un electrón en movimiento, entonces encuentra que la masa total en el campo está dada por:

metro mi metro = 2 3 mi 2 4 π ϵ 0 C 2 a

Por lo tanto tenemos una discrepancia de energía dada por:

mi pag = 1 6 mi 2 4 π ϵ 0 a

Poincaré planteó la hipótesis de que debe haber tensiones que mantengan unido al electrón contra la repulsión electrostática de la carga en su superficie. De alguna manera debe tomar una energía mi pag para mantener estas tensiones de Poincaré.

Quizás el electrón pueda ser modelado por una capa esférica conductora con un vacío en su interior. Presumiblemente, el vacío daría lugar a una presión negativa en el caparazón cargado debido al efecto Casimir. Esta presión debe equilibrar la repulsión electrostática del caparazón cargado.

Según los modelos cosmológicos, por ejemplo, el vacío tiene una ecuación de estado dada por:

pag = − ρ C 2

Esta expresión se puede justificar sobre la base de que el tensor de tensión-energía del vacío debe ser invariante de Lorentz .

La presión hacia afuera sobre la superficie de la esfera cargada debido a la repulsión de Coulomb está dada por:

pag = 1 2 ϵ 0 ( mi 4 π ϵ 0 a 2 ) 2

Esta presión debe equilibrarse con la presión negativa del vacío dentro de la carcasa. Si sustituimos el vacío dentro de la esfera en la ecuación de estado anterior, encontramos que su energía está dada por:

mi pag = 1 6 mi 2 4 π ϵ 0 a

Por lo tanto, parece que hemos tenido en cuenta la discrepancia de energía entre el campo EM de un electrón estático y un electrón en movimiento al incluir la energía del vacío dentro del electrón que lo mantiene unido.

Pero, de hecho, la presión interna sobre el electrón se debe al efecto Casimir. Esto significa que se debe a un exceso de modos electromagnéticos de punto cero fuera de la capa conductora en comparación con el número de modos del interior. Por lo tanto, la energía adicional mi pag asociado con estos modos adicionales se encuentra fuera del caparazón. Esto tiene sentido ya que queremos dar cuenta de la discrepancia en la masa/energía total en el campo fuera del caparazón.

Se puede hacer la siguiente analogía con el caso en el que se extrae un pistón de un cilindro que está rodeado de presión atmosférica normal. Uno tiene que suministrar energía para trabajar contra la atmósfera exterior. La energía suministrada no se almacena en el vacío creado en el cilindro; en cambio, se encuentra afuera en la atmósfera circundante.

¿Es esta la forma correcta de pensar sobre las tensiones de Poincaré?

Acabo de encontrar un artículo muy interesante que argumenta en contra de mi hipótesis (¡en realidad, la hipótesis de Casimir!) de un electrón clásico que se mantiene unido por la energía del punto cero. El autor calcula las fuerzas de Casimir sobre un conductor esférico a partir de primeros principios y concluye que son repulsivas en lugar de atractivas.

Pero, ¿por qué este resultado contradice la conocida ecuación de estado del vacío? pag = − ρ C 2 ?

La suposición (problema con la masa em.) es errónea; cf. mi respuesta aquí: physics.stackexchange.com/questions/160264/…
¿Puedes hacer explícito exactamente cuál crees que es la contradicción?
Usando la ecuación de estado del vacío pag = − ρ C 2 uno puede derivar la discrepancia de energía mi pag correctamente mientras que cuando se hace un cálculo cuidadoso de las fuerzas de Casimir debido al vacío dentro de la esfera, se encuentra que tienden a expandir la esfera en lugar de mantenerla unida.
Para Jan Lalinsky: Diría que la discrepancia entre la masa/energía del campo estático y la masa/energía del campo en movimiento todavía debe tenerse en cuenta. Acepto su punto de que uno no debe incluir la inercia en el campo electromagnético si la ecuación de movimiento de uno solo trata con fuerzas que actúan sobre el cuerpo mismo.
Bueno, suponiendo que la ecuación de estado sea aplicable (no es obvio que lo sea, pero sigamos adelante), el problema radica en la suposición de que la presión del vacío es responsable de estabilizar una capa cargada. Claramente no puede ser, porque la fuerza de Casimir es repulsiva. Por lo tanto, alguna otra fuerza debe ser responsable de equilibrar tanto la repulsión de Coulomb como la presión de vacío.

Respuestas (3)

De hecho, es el caso de que la fuerza de Casimir para una esfera tridimensional es repulsiva.

http://arxiv.org/abs/hep-th/9406048

Ni yo ni los autores de este artículo sabemos una explicación intuitiva de por qué este es el caso. Sin embargo, es importante señalar que este resultado en realidad refuta el argumento ingenuo y muy común del "recuento de modos" que aparentemente funciona en el efecto Casimir para una geometría de placas paralelas.

La forma adecuada de derivar la presión es escribir la energía del punto cero como una suma sobre los modos. Esta suma no es significativa por sí misma porque suele ser muy divergente. Tienes que regularizarlo, es decir, extraer un número finito de la serie infinita divergente. Lo que obtienes después de regularizar la suma puede ser positivo o negativo. No hay una forma obvia de saberlo.

Por ejemplo, en la versión de placas paralelas del efecto Casimir se encuentra la famosa serie

1 + 2 + 3 + 4 + . . . = − 1 12

Este resultado puede obtenerse mediante la regularización de la función zeta . El signo negativo da como resultado una fuerza de atracción.

Sin embargo, para una serie relacionada, la regularización de la función zeta dará

1 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . . . = 1 + 8 + 27 + 64 + . . . = − B 3 + 1 3 + 1 = 1 120

Si encontraste esta serie al calcular el efecto Casimir para alguna geometría, encontrarías una presión positiva.

Y si encontraste esta otra serie

1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . = 1 + 4 + 9 + dieciséis + . . . = 0

no habría presión en absoluto.

La regularización involucrada en el cálculo del efecto Casimir para una esfera es un poco más complicada, pero este es el principio general. Consulte también la opinión de Terry Tao para tener un poco más de intuición sobre lo que significan las sumas regularizadas y por qué son la respuesta correcta.

En otras palabras, no hay contradicción, porque el argumento de conteo de modos falla para todas las geometrías excepto para las más simples.

No creo que eso sea posible ya que también hay vacío fuera del electrón, todo entre el electrón y el núcleo es vacío.

Dado que los electrones libres son estables, no estoy seguro de qué tiene que ver el núcleo con nada.
@JonCuster No, no dije que sí. Mi punto es que, en este caso, no solo el vacío en el centro del electrón lo mantendría unido, sino que el vacío exterior estaría haciendo exactamente lo contrario.
La idea es que solo ciertas ondas estacionarias electromagnéticas de punto cero están permitidas dentro del electrón, mientras que todas las ondas posibles están permitidas en el exterior. Así, el vacío "verdadero" fuera del electrón ejerce una presión neta sobre él.

La influencia de las fuerzas electromagnéticas internas en la esfera no se puede calcular en función del momento del campo fuera de la esfera; es más complicado ya que el campo no se mueve simplemente con la esfera cuando la esfera se mueve de forma general.

Además, el defecto electromagnético está presente, pero es explicable puramente con fuerzas EM mutuas. No es necesario ningún efecto de campo de punto cero.

Además, los acentos de Poincaré son necesarios para mantener unida la esfera, pero no para explicar el supuesto problema con ellos. masa; la esfera no necesita ser estable para que ocurra el supuesto problema. Es suficiente que las cargas tengan una masa mecánica extremadamente grande, para que la esfera sobreviva lo suficiente; entonces la energía de Poynting y el impulso de Poynting ya conducen a diferentes masas EM.

No creo que haya ninguna buena razón para introducir la ecuación

pag = − ρ C 2

para el espacio dentro o fuera de la esfera cargada. Además del hecho de que no hay un problema aparente con la masa de la esfera, la forma en que se llegó a esta ecuación en el archivo gif al que se hace referencia anteriormente depende de una serie de suposiciones que están fuera de lugar en el presente contexto. Por ejemplo, se supone que el vacío tiene cuatro tensores de tensión que son diferentes del tensor EM y este tensor tiene la forma de un tensor estándar para fluidos perfectos (que se introdujo solo para fluidos materiales, no para el vacío), y que todos los componentes de el tensor son invariantes de Lorentz. ¿Por qué deberíamos pensar eso? Simplemente no hay razón alguna para asumir ideas tan extrañas en el contexto de la esfera cargada. E incluso si asumimos que la ecuación anterior es válida, esto no aporta nada a la cuestión de la masa efectiva de la esfera.

La ecuación de estado del vacío pag = − ρ C 2 puede justificarse sobre la base de que es invariante de Lorentz, por lo que no se requieren consideraciones gravitacionales.
@JohnEastmond, edité mi respuesta.
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