¿Los agujeros negros atraen más en GR que la gravedad newtoniana más allá de su horizonte de eventos? [duplicar]

Los agujeros negros atraen un poco más que las partículas puntuales newtonianas dentro de una distancia dentro de un radio de Schwarzschild de su horizonte de eventos. La razón es que la curvatura del espacio-tiempo hace que las partículas que caen libremente se comporten como si hubiera un extra.$-1/r^3$potencial además de los términos normales de potencial gravitacional y centrífugo. Esto significa que hay una órbita circular estable más interna, mientras que en la mecánica newtoniana uno puede simplemente orbitar arbitrariamente cerca de la masa central. Las partículas que caen cerca del agujero negro pueden sumergirse de una manera diferente a los giros hiperbólicos que se obtienen con las trayectorias newtonianas.

En la práctica, este efecto es insignificante a unos pocos radios de distancia, por lo que los planetas que orbitan una estrella (distancias de cientos de millones de kilómetros) no sienten ningún efecto notable ya que un agujero negro de masa estelar tiene un radio del orden de un kilómetro.

La métrica fuera de un cuerpo esférico de materia es la misma sin importar si es un fluido mantenido por la presión hidrostática o un agujero negro. La diferencia clave es que los cuerpos materiales suelen tener un radio mucho mayor que el radio de Schwarzschild, por lo que los detalles anteriores no entran en juego. Incluso para una estrella de neutrones, los efectos son pequeños.

Esta afirmación es igualmente válida en la gravedad newtoniana, donde se denomina teorema de la capa , y en la relatividad general, donde se denomina teorema de Birkhoff . En realidad, no es exactamente cierto en ninguna de las teorías, porque (1) el sol no es esféricamente simétrico con precisión, (2) el sistema completo no es estático (porque los planetas están en órbita) y (3) hay materia involucrada.

Mi conjetura es que ese tercer punto tendría el efecto más grande (aunque todavía un efecto muy pequeño en algo así como una escala de tiempo humana). De hecho, los planetas generan mareas en el sol, que transfiere energía entre esas mareas y el movimiento orbital de los planetas. La eficiencia de esta transferencia depende de los detalles sobre la estructura del sol (generalmente expresada en términos de números de amor ), que cambiaría significativamente si el sol fuera reemplazado por un agujero negro. Este efecto es en realidad un tema de investigación activa para los detectores de ondas gravitacionales, ya que los astrónomos esperan poder medir las propiedades de las estrellas de neutrones que orbitan agujeros negros mediante la detección de esta transferencia. Vea aquí un relato popular de parte de esta investigación.

Es difícil hacer una comparación precisa, porque no hay una sola forma de relacionar la distancia radial$R$en el cálculo newtoniano al parámetro$r$en el cálculo de GR.

Una cosa útil a tener en cuenta es la relación entre la frecuencia angular$\omega$de una órbita circular y la distancia a la estrella central. El periodo de la órbita es$T = 2\pi/\omega$. En el cálculo newtoniano la relación viene dada por la tercera ley de Kepler:

$$R^3 \omega^2 = G M$$ dónde$M$es la masa del cuerpo central. En el cálculo de la Relatividad General se obtiene un resultado muy similar: $$r^3 \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 = GM$$ Digo "muy similar" no "exactamente igual" porque el parámetro de tiempo$t$aquí no es lo mismo que el tiempo newtoniano, debido a la dilatación del tiempo, y la coordenada radial$r$no es lo mismo que el newtoniano$R$, pero se igualan en el límite$r \rightarrow \infty$, en términos relativos (es decir,$(r/R) \rightarrow 1$).

Otro resultado interesante es el de una partícula que cae en dirección radial. En el cálculo de GR se encuentra

$$\frac{d^2 r}{d \tau^2} = - \frac{GM}{r^2} .$$ De nuevo, se parece mucho al resultado newtoniano, pero no es exactamente lo mismo porque$\tau$en esta ecuación es el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo.

Como puede ver, no hay una sola forma de comparar el caso newtoniano con el caso GR si busca precisión. Ni siquiera puedes suponer que la órbita newtoniana del radio$R$es necesariamente comparable a la órbita GR en el parámetro radial$r$, porque la distancia entre dos puntos en una línea radial no es igual a la diferencia entre los dos$r$valores.

Para los objetos que no giran, se aplica el teorema de Birkhoff y el potencial fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica es el mismo (en la relatividad general o la física newtoniana) para un agujero negro que no gira o cualquier otra distribución de masa esféricamente simétrica de la misma masa total.

Si el objeto central está girando (como el Sol), en principio hay una diferencia. Para una masa y un momento angular dados, solo hay una solución para un agujero negro: la métrica de Kerr . Por lo tanto, el potencial está determinado únicamente por la masa y el momento angular.

Esto ya no es cierto cuando se habla de masas que no son agujeros negros. Entonces, el potencial depende exactamente de cómo se distribuye la masa. Dudo que esto produzca efectos observables a la distancia de los planetas que orbitan alrededor del Sol, pero más cerca de cualquier agujero negro potencial ciertamente habría una diferencia. Por ejemplo, hay una serie de documentos que describen las diferencias en la órbita circular interna más estable para las estrellas de neutrones giratorias frente a los agujeros negros, por ejemplo ( Pappas & Apostolatos 2013 .

Sin embargo , el potencial efectivo de un agujero negro (que no gira o gira) es diferente en la Relatividad General (GR) y la física newtoniana. Estas diferencias se hacen evidentes para las coordenadas radiales que se están volviendo comparables (pero aún mayores) que el radio de Schwarzschild.

El siguiente gráfico muestra el potencial efectivo de un cuerpo que cae (alrededor de un agujero negro que no gira) con diferentes cantidades de momento angular específico,$L/m$. En general, todos los objetos en órbita o en caída tendrán cierto momento angular con respecto al centro del agujero negro, a menos que estén cayendo exactamente radialmente.

Las líneas continuas muestran las versiones GR, mientras que las curvas newtonianas (para el mismo$L/m$) son las líneas discontinuas de color similar.

Ahora imagina un objeto acercándose al agujero negro con una energía (cinética) que lo coloca por encima de cero en el eje y. Para las curvas newtonianas, la trayectoria siempre encontrará la línea punteada en algún radio finito, con un radio mayor para un valor mayor de$L/m$. El cuerpo que cae se desviará del agujero negro en una trayectoria hiperbólica.

Sin embargo, un destino diferente podría esperar al cuerpo que cae en GR. Si$L/m < 4GM/c$entonces no hay una barrera potencial que impida que el objeto caiga en línea recta (bueno, en realidad sería una espiral) en el agujero negro. Para valores mayores de$L/m$entonces es posible que se encuentre una barrera, en algún lugar entre$1.5< r/r_s<3$eso alejará el cuerpo que cae, pero siempre hay algún valor de energía cinética (específica) que permitirá superar esta barrera y permitir que el cuerpo caiga en el agujero negro.

Entonces, desde ese punto de vista, es algo más fácil, en el sentido de que hay un rango más amplio de espacio de parámetros, para que un cuerpo que cae entre en el agujero negro. De hecho, en la física newtoniana, a menos que el momento angular sea muy pequeño, en realidad es muy difícil hacer que el cuerpo se$r<r_s$a menos que tenga una enorme cantidad de energía cinética (específica) para su momento angular específico.

También puedes ver que más allá de$\sim 20r_s$en esta gráfica, el GR y el potencial newtoniano se vuelven muy similares y convergen. Esto significa que los comportamientos de los cuerpos en órbitas o trayectorias que están muy lejos del horizonte de sucesos no se ven muy afectados por GR; solo hay perturbaciones, como la precesión del periapsis en GR (famoso por la órbita de Mercurio) que está ausente. de un tratamiento newtoniano. Esto sucede porque el período que tarda un planeta en una órbita elíptica para pasar de su perihelio a afelio y viceversa es ligeramente diferente (en GR) del tiempo que tarda en ejecutar una órbita angular completa.

En términos del período orbital de un planeta para un$r$(aunque tenga en cuenta que$r$tiene un significado ligeramente diferente en newtoniano vs GR), un observador distante diría que no hay diferencia. La velocidad orbital circular sería$\sqrt{GM/r}$en cada caso.