¿Linealidad de la Mecánica Cuántica?

El teorema de no clonación establece que no es posible tener un estado cuántico$|\psi\rangle$evolucionar en dos copias separables (no entrelazadas) descritas por el estado del producto tensorial$|\psi\rangle|\psi\rangle$.

La prueba se reduce a la simple observación de que al expresar$|\psi\rangle$en alguna base${|0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, ...}$:

$$|\psi\rangle = \alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + \alpha_2 |2\rangle + ...$$

la operación de clonación sería una evolución unitaria de la forma:

$$U(\alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + ... ) = \alpha_0^2 |0\rangle|0\rangle + \alpha_0 \alpha_1 |0\rangle|1\rangle + \alpha_1 \alpha_0 |1\rangle|0\rangle + \alpha_1^2 |1\rangle|1\rangle...$$

Esto lleva a una contradicción, ya que el operador unitario$U(..)$es lineal y nunca puede crear amplitudes como$\alpha_0^2$y$\alpha_0\alpha_1$que son funciones cuadráticas de la$\alpha_i$.

Entonces la linealidad a la que se refiere el autor es la linealidad de la evolución unitaria. En la física cuántica, la evolución se describe mediante operadores unitarios que transforman los estados entrantes en estados salientes que son una combinación lineal de los estados entrantes.

"Por la linealidad de la mecánica cuántica" es en realidad una referencia a la linealidad de los operadores utilizados en la mecánica cuántica. Significa que, para un operador lineal$A$(por la definición misma de linealidad),

$$A\bigl(\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr)=\alpha A\lvert\Psi\rangle + \beta A\lvert\Phi\rangle,$$ dónde $\alpha$y $\beta$son números complejos.

La forma en que esto se aplica al teorema de no clonación es bastante simple. Un operador de clonación tendría que satisfacer lo siguiente: hay un vector$\lvert \Xi \rangle$tal que, para cualquier$\lvert \Psi \rangle$, tenemos

$$A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle= \lvert \Psi\rangle \lvert\Psi\rangle.$$

Sin embargo,$\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle$es un estado tan válido como$\Psi$. Por lo tanto, combinado con la ecuación anterior para los operadores lineales (que es como decir "debido a la linealidad de la mecánica cuántica" ), esto implica que

$$A (\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr) \lvert\Xi\rangle= \alpha A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle +\beta A\lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Xi\rangle =\alpha \lvert\Psi\rangle \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Phi\rangle.$$ Que no es lo que queríamos, ya que una copia real del estado inicial habría sido $(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)$.