¿Es el universo lineal? Si es así, ¿por qué?

Esta pregunta es muy difícil de responder a un nivel fundamental, porque la mecánica cuántica parece ser exacta hasta ahora, pero no se puede estar seguro en el sentido científico sin la confirmación de que es posible la computación cuántica no trivial. Si esto es así, habría que renunciar a cualquier descripción clásica, al menos dentro de los límites de la razón científica, y es probable que la mecánica cuántica sea la última palabra. Si esto no es así, entonces, por supuesto, todas las apuestas están canceladas.

Se debe decir al principio que cualquier sistema se puede convertir en un sistema exactamente lineal haciendo distribuciones de probabilidad. Suponga que tiene una ecuación no lineal, por ejemplo:

Ahora tienes una relación no lineal entre$x(0)$y$x(t)$. Supongamos que dices "No sé$x(0)$, pero tengo la idea de que se describe mediante una distribución de probabilidad$\rho(x_0)$". Entonces puedes decir, sabiendo cómo está cambiando x, cómo la distribución de probabilidad$\rho$está cambiando. La ecuación para$\rho$siempre es lineal, incluso si la dinámica subyacente de x no es lineal.

La razón es simple --- si tiene una distribución de probabilidad que es una combinación lineal de otras dos:

puede interpretar esta distribución mediante el siguiente proceso: lanzar una moneda que tiene probabilidad$\alpha$de cabezas de aterrizaje, luego seleccione$x_0$de acuerdo a$\rho_1$si tienes cara, y según$\rho_2$si tienes cruz. Entonces evoluciona$x_0$según la ecuación no lineal.

También puede elegir un$x_0$de$\rho_1$y recoger y$x_0'$de$\rho_2$y evoluciona ambos, y luego elige uno de los resultados usando la misma moneda. Claramente (lo que significa que es equivalente a los axiomas de probabilidad) lanzar la moneda al aire al principio para encontrar$x_0$es lo mismo que evolucionar una selección de$\rho_1$y$\rho_2$sin saber cuál es cuál, y al final tirando la moneda. La razón es que sabemos que hay un secreto.$x_0$debajo, y la probabilidad de que$x_0$ser lo que es no importa cuando descubramos la respuesta de cuál era, siempre y cuando finalmente encontremos la respuesta.

Esto te dice que el operador de evolución temporal para distribuciones de probabilidad obedece a:

Esta es la linealidad fundamental de la teoría de la probabilidad.

De manera similar, para GR, y considera distribuciones de probabilidad en métricas, la ecuación para la distribución de probabilidad siempre es lineal. Esto no hace que resolver las ecuaciones sea más fácil, porque el espacio lineal es mucho más enorme --- la dificultad de resolver la evolución de las distribuciones de probabilidad en los sistemas clásicos, según Monte-Carlo, es aproximadamente la misma que resolver las ecuaciones clásicas. muchas veces.

Lo que pasa con la mecánica cuántica es que es como la probabilidad, en que la ecuación de movimiento es siempre lineal. También es como la probabilidad en que se formula sobre el espacio de todas las configuraciones, por lo que la cantidad de números reales que usa crece exponencialmente con el tamaño del sistema.

Pero la mecánica cuántica no es como la probabilidad en el sentido de que tiene interferencia. Esto significa que no puede usar la justificación de la ignorancia para la linealidad perfecta --- no puede decir "la razón por la que la función de onda evoluciona de manera perfectamente lineal es porque representa la ignorancia de los lanzamientos de monedas al principio", porque el único cálculo razonable para la ignorancia es la probabilidad.

También significa que no es posible usar Monte-Carlo en general para simular la mecánica cuántica con múltiples muestras (aunque es asombroso hasta qué punto se puede hacer Quantum Monte-Carlo, es necesario hacer una continuación analítica imposible para convertirlo en resultados generales del espacio real). Esto es casi un teorema, ya que Monte Carlo no puede tener una aceleración exponencial para el cálculo clásico. Entonces, la existencia de la factorización de Shor y otras aceleraciones exponenciales significa que no se puede simular una computadora cuántica de manera eficiente con una estocástica clásica.

Pero la mecánica cuántica todavía se mezcla con la probabilidad, porque las probabilidades son el cuadrado de los valores de la función de onda. En general, los elementos diagonales de la matriz de densidad son probabilidades cuando mide, y deben obedecer la linealidad clásica exacta de la teoría de probabilidad cuando tiene múltiples mediciones.

Esta restricción significa que te cuesta mucho imaginar que la mecánica cuántica tenga una ligera no linealidad, ya que es difícil o imposible asegurar que la teoría de probabilidad incluida en el límite clásico va a ser exactamente lineal (en el límite de las medidas clásicas) si la dinámica cuántica subyacente no es exactamente lineal. Hay intentos de vez en cuando de colapsar la función de onda usando la no linealidad, pero estos son generalmente equivocados. Si realiza una interacción no lineal en una entidad de probabilidad como la función de onda, obtiene una interacción entre diferentes mundos posibles, o ramas de Everett, no un colapso sensible a uno de los mundos posibles.

Así que sí, con estándares científicos de conocimiento, si la mecánica cuántica es exacta, es lineal. Si la mecánica cuántica falla, probablemente se deba a que se trata de una descripción estocástica de algunas variables subyacentes, pero lo que podría ser es muy difícil de imaginar.