LIGO: ¿Cómo puede la interferometría láser (longitud de onda >10−710−710^{-7}m) detectar cambios de longitud de brazos <10−1810−1810^{-18} m?

El interferómetro LIGO utiliza una técnica de detección homodina . Básicamente, la luz que viaja en cada brazo del interferómetro se deriva de la misma fuente de láser y se combina en el canal de salida y cae sobre un fotodiodo.

El interferómetro se opera de manera que cuando no hay onda gravitatoria (GW) pasando a través del instrumento, los haces se combinan para producir una franja oscura (es decir, están configurados para interferir destructivamente). Hay una pequeña compensación de esto, pero básicamente la diferencia de fase entre los haces combinados está cerca de$\pi$.

La diferencia de fase causada por un GW, debido al cambio de longitud de un brazo con respecto al otro, se puede derivar como

$$\Delta \phi \simeq 2\pi \left(\frac{2hL}{c}\right) \left(\frac{c}{\lambda}\right) = \frac{4\pi}{\lambda} hL \ ,$$ dónde$L$es la longitud de los brazos,$\lambda$es la longitud de onda del láser y$h$es la amplitud de deformación de la señal de onda fravitacional. En realidad, es un poco más complejo que esto, ya que los brazos actúan como resonadores de Fabry-Perot, lo que significa que la luz viaja efectivamente hacia adelante y hacia atrás muchas veces en los brazos (alrededor de 300 para LIGO, es decir,$L$es efectivamente 1200 km).

Para una típica cepa GW adimensional de$h \sim 10^{-21}$,$\lambda = 1064$nm, entonces$\Delta \phi \sim 10^{-8}$y se modula a la frecuencia de la GW (típicamente 20-2000 Hz).

El problema se reduce entonces a combinar

$$E_{\rm tot} = E_0\sin (\omega_l t) + E_0 \sin (\omega_l t + \alpha + \Delta \phi)\ ,$$ dónde$E$es el campo eléctrico en cada brazo,$\omega_l$es la frecuencia angular del láser y$\alpha$es la fase de compensación entre los brazos (cerca de$\pi$).

usando la identidad$\sin a + \sin b = 2 \cos[(a-b)/2] \sin[(a+b)/2$y elevando al cuadrado el campo E total para obtener una intensidad:

$$I = 4E^2 \cos^2[(\alpha + \Delta \phi)/2]\, \sin^2[\omega_l t +(\alpha + \Delta \phi)/2]$$

Desde$\omega_l$es mucho mayor que la frecuencia GW y mucho mayor que la que puede muestrear cualquier detector fotosensible, entonces el segundo término en el producto anterior puede reemplazarse por su promedio de tiempo de$1/2$. Si ahora identificamos la potencia total$P_{\rm in}=E^2$como la potencia de entrada promedio a cada brazo del interferómetro y tenga en cuenta que$\cos^2 (a/2) = (\cos(a)+1)/2$y$\Delta \phi \lll 1$

$$I = P_{\rm in} \left[1 + \cos(\alpha + \Delta \phi ) \right] \simeq P_{\rm in} \left[1 + \cos(\alpha) -\Delta \phi \sin(\alpha)\right] = 2P_{\rm in} \left[ \cos^2 (\alpha/2) - \frac{\Delta \phi}{2}\sin \alpha \right]\ .$$

Es el segundo término dentro del paréntesis que contiene la señal del GW. Esa señal es proporcional a la potencia en el interferómetro y la diferencia de fase entre los brazos. Tenga en cuenta que aunque el ruido de señal a (disparo) se maximiza matemáticamente cuando$\alpha=\pi$, esto significaría que la SNR fue 0/0 ! En la práctica, siempre hay algún otro ruido presente, por lo que$\alpha$se aleja un poco de$\pi$-Fricke et al. (2012) sugiere que$\alpha \sim \pi+ 6\times 10^{-5}$se usa

La entrada de energía en cada brazo es de aproximadamente 600 W (los 100 de kW que Steve Linton menciona en un comentario son después de tener en cuenta el resonador Fabry-Perot, lo cual hice anteriormente al hablar de un "efectivo$L$"). En ausencia de otras formas de ruido, el conteo de fotones (ruido de disparo) se convierte en el factor limitante y es proporcional a la raíz cuadrada de la potencia.

La señal de salida es la señal GW modulada discutida anteriormente que se registra al detectar fotones con los fotodiodos. La función de respuesta que traduce la señal del fotodiodo en una tensión se determina actuando sobre las masas/espejos de prueba con láseres calibrados con precisión modulados a frecuencias GW que pueden producir cambios de fase monocromáticos en las longitudes de los brazos.