¿Por qué podemos detectar ondas gravitacionales?

La respuesta corta es que las ondas que están "en el aparato" están realmente estiradas. Sin embargo, las "ondas frescas" producidas por el láser no lo son. Siempre que las ondas "nuevas" pasen mucho menos tiempo en el interferómetro de lo que se necesita para expandirlas (lo que lleva aproximadamente 1/frecuencia de onda gravitacional), entonces el efecto del que está hablando puede despreciarse.

Detalles:

Hay una paradoja aparente : se puede pensar en la detección de dos maneras. Por un lado, puede imaginar que las longitudes de los brazos del detector cambian y que el tiempo de viaje de ida y vuelta de un haz de luz cambia posteriormente y, por lo tanto, la diferencia en el tiempo de llegada de las crestas de onda se traduce en una diferencia de fase que es detectado en el interferómetro. Por otro lado, tiene la analogía con la expansión del universo: si se cambia la longitud del brazo, ¿no cambia la longitud de onda de la luz exactamente por el mismo factor y, por lo tanto, no puede haber cambio en la diferencia de fase ? Supongo que esta última es tu pregunta.

Bueno, claramente, el detector funciona, por lo que debe haber un problema con la segunda interpretación. Hay una excelente discusión de esto por Saulson 1997 , de la cual doy un resumen.

Interpretación 1:

Si los dos brazos están en el$x$y$y$direcciones y la onda entrante la$z$dirección, entonces la métrica debida a la onda se puede escribir

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + (1+ h(t))dx^2 + (1-h(t))dy^2,$$ dónde$h(t)$es la deformación de la onda gravitacional.

Para la luz que viaja en trayectorias geodésicas, el intervalo métrico$ds^2=0$, esto significa que (considerando solo el brazo alineado a lo largo del eje x por un momento)

$$c dt = \sqrt{(1 + h(t))}dx \simeq (1 + \frac{1}{2}h(t))dx$$ Por lo tanto, el tiempo necesario para recorrer el camino se incrementa a $$\tau_+ = \int dt = \frac{1}{c}\int (1 + \frac{1}{2}h(t))dx$$

Si el brazo original tiene una longitud$L$y la longitud del brazo perturbado es$L(1+h/2)$, entonces la diferencia de tiempo para que un fotón haga el viaje de ida y vuelta a lo largo de cada brazo es

$$\Delta \tau = \tau_+ - \tau_- \simeq \frac{2L}{c}h$$ que conduce a una diferencia de fase en las señales de $$\Delta \phi = \frac{4\pi L}{\lambda} h$$ Esto supone que$h(t)$se trata como una constante durante el tiempo que la luz láser está en el aparato.

Interpretación 2:

En analogía con la expansión del universo, la onda gravitacional cambia la longitud de onda de la luz en cada brazo del experimento. Sin embargo, solo las ondas que están en el aparato a medida que pasa la onda gravitatoria pueden verse afectadas.

Suponer que$h(t)$es una función escalonada, de modo que el brazo cambia de longitud de$L$a$L+h(0)/2$instantáneamente Las ondas que acaban de regresar al detector no se verán afectadas por este cambio, pero las crestas de onda subsiguientes habrán tenido que viajar sucesivamente más lejos, por lo que hay un desfase que se acumula gradualmente hasta el valor definido anteriormente en la interpretación 1. El tiempo necesario para que el desfase se acumule será$2L/c$.

Pero entonces, ¿qué pasa con las ondas que ingresan al aparato más tarde? Para ellos, la frecuencia del láser no cambia y como la velocidad de la luz es constante, la longitud de onda no cambia. Estas ondas viajan en un brazo alargado y, por lo tanto, experimentan un desfase exactamente equivalente a la interpretación 1.

En la práctica, el "tiempo de acumulación" para el desfase es corto en comparación con el recíproco de la frecuencia de las ondas gravitacionales. Por ejemplo, la longitud de la ruta LIGO es de unos 1000 km, por lo que el "tiempo de acumulación" sería de 0,003 s en comparación con el recíproco del$\sim 100$Hz de 0,01 s, por lo que es relativamente poco importante al interpretar la señal (la sensibilidad de detección del interferómetro se ve comprometida a frecuencias más altas debido a este efecto).