Ley de Hubble y conservación de la energía

Respuesta corta: la conservación de la energía no es una ley fundamental.

El teorema de Noether nos dice que siempre que hay alguna simetría en las leyes físicas, se obtiene alguna cantidad conservada. Para traslaciones en el espacio se obtiene momento conservado. Para las rotaciones se obtiene el momento angular . Y para las traslaciones en el tiempo, se obtiene la ley de conservación de la energía.

Eso significa que la conservación de la energía solo es válida para los sistemas que se rigen por leyes que son invariantes en el tiempo, es decir, estáticas . La mayoría de los sistemas que uno encuentra en la vida diaria son de este tipo (incluso la fricción, cuando se observa de cerca, conserva la energía; la energía que falta se transforma en energía cinética de los átomos en forma de calor). Pero esto es sólo la consecuencia de vivir en un espacio-tiempo idealizado y estático de Minkowski .

En el momento en que uno deja este agradable lugar estático y considera el universo dinámico, uno tiene que desechar el simple concepto de conservación de la energía. Uno puede considerar varias nociones de energía en la Relatividad General, pero estos conceptos son bastante complicados y uno se ve obligado a hablar solo sobre energía localmente en un pequeño volumen. Pero realmente no se puede decir nada sobre el universo como un todo.

Entonces, primero hay que tener en cuenta que la conservación de alguna cantidad significa que la cantidad es constante a través de la evolución del sistema en el tiempo. Pero ¿qué es el tiempo? Ya la Relatividad Especial nos dice que cada observador lleva su propia noción local del tiempo. La Relatividad General complica mucho más esta noción. ¡Así que ni siquiera tiene sentido hablar de la constancia de alguna cantidad en el tiempo a menos que especifiquemos a qué tiempo nos referimos! Para darle sentido a esto, generalmente se restringe a un volumen pequeño (de modo que el tiempo tiene casi el mismo significado para cada punto del volumen) o bien uno tiene una buena noción de qué es el tiempo globalmente. Este segundo punto es afortunadamente cierto en nuestro universo (y también en el espacio-tiempo plano de Minkowski) porque puede describirse bastante bien mediante algunas soluciones FRLW de las ecuaciones de Einstein.

Entonces, la noción general de tiempo complica las cosas, pero se puede tratar. El peor problema es que en la Relatividad General es muy difícil decir qué es la energía gravitacional (es decir, la energía almacenada como curvatura del espacio-tiempo). Resulta que los diferentes observadores no estarán realmente de acuerdo con esto (por lo que el concepto no es covariante ) y, excepto en algunas situaciones especiales, no se puede decir nada útil.

Nota: para profundizar en un pequeño volumen de lo anterior, a menudo uno puede limitarse a un volumen donde el sistema está aproximadamente aislado del resto del universo. Por ejemplo, el sistema solar está bastante aislado y la energía se conservaría si no fuera por las partículas entrantes (y salientes) (como la luz) y los cuerpos (como los asteroides).

@kalle43,

Existe algo así como una ley de conservación de la energía. Y en mi humilde opinión, es una ley fundamental de la naturaleza, aunque su declaración ciertamente se vuelve turbia en un entorno cuántico o relativista general. Esto sigue siendo cierto sin importar qué métrica de fondo describa su espacio-tiempo o si está hablando de procesos de equilibrio o de no equilibrio.

En física, describimos sistemas y procesos que afectan a esos sistemas mediante la comprensión de las cantidades conservadas del sistema en cuestión. Entonces, para responder a su pregunta sobre la conservación de la energía en el contexto de la expansión del Hubble, primero debemos identificar el sistema con el que estamos tratando y su dinámica.

En presencia de materia homogénea e isótropa con tensor esfuerzo-energía:

$$T_{\mu\nu} = diag(-\rho+\kappa\Lambda,p-\kappa\Lambda,p-\kappa\Lambda,p-\kappa\Lambda)$$

dónde$\rho$y$p$son la densidad y la presión de nuestra distribución de materia;$\Lambda$es la constante cosmológica y$\kappa = 1/8\pi G$

Con el ansatz de una métrica homogénea e isotrópica$g = a(t)^2 diag(-1,1,1,1)$, ecuaciones de Einstein$G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$producir las dos ecuaciones de Friedmann. Están:

$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2}$(Primera ecuación de Friedmann)

$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}$(Segunda ecuación de Friedmann)

y$k \in {-1,0,1}$determina si el espacio-tiempo está abierto ($k = -1$), plano ($k=0$) o cerrado ($k=+1$). Para nuestros propósitos podemos establecer$k$a cero. También para nuestros propósitos$p=0$en la segunda ecuación.$H = \dot a/a$es el parámetro de Hubble.

Ahora tomando la derivada temporal de la primera ecuación da:

$$2 H \dot H = 2 \left( \frac{\dot a}{a} \right) \left( \frac{\ddot a}{a} - \frac{\dot a^2}{a^2} \right) = \frac{d}{dt}\left( \frac{\kappa}{3} \rho + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2} \right)$$

Sustituyendo la derecha de la segunda ecuación de Friedmann en la izquierda de la expresión anterior, obtenemos:

$$\frac{d}{dt}\left( \kappa \rho + \Lambda - \frac{3k}{a^2} \right) = - 3 H \left( \rho + p - \frac{k}{a^2} \right)$$

Esta es la declaración de conservación de energía para nuestro sistema. Para$H > 0$($H < 0$) la densidad de energía (el rhs) en un volumen dado es una cantidad decreciente (creciente). Esto en línea con nuestra expectativa intuitiva con respecto a una cosmología en expansión (contracción).

Disculpas por la larga respuesta. También podría haber encontrado este material en la página de wikipedia correspondiente . Quería que mi respuesta fuera independiente.

Por supuesto, el Universo, tal como lo observamos, consiste en sistemas unidos (sistemas solares, galaxias, cúmulos de galaxias) que aparentemente no se ven afectados por la expansión cósmica. Para estos casos hay que trabajar un poco más .

Salud,

Hay algunas respuestas a esta:

1) La conservación de la energía en relatividad es solo una ley local. La energía se conserva en un marco de referencia local, pero no se conserva globalmente.

2) La constante cosmológica tiene una presión negativa asociada, de modo que a medida que el universo se expande, la constante cosmológica realiza trabajo sobre la materia en el universo, lo que provoca una mayor expansión, lo que provoca que se realice más trabajo, etc. Entonces, la conservación de energía todavía está allí, solo es impuesta por la nueva termodinámica de un fluido cosmológico.

3) La respuesta de Marek: no existe una definición de energía completamente libre de coordenadas para la cosmología del Big Bang, por lo que esta no es una pregunta bien definida.

La expansión se encuentra entre las galaxias y se piensa como una ley uniforme en el universo. Pero eso no significa que todo se esté expandiendo, especialmente no para los sistemas acotados gravitacionales ( Peacock "Cosmological physics" 3.3 ).

LA NATURALEZA DE LA EXPANSIÓN La incapacidad de ver que la expansión es sólo cinemática localmente también se encuentra en la raíz de quizás el peor concepto erróneo sobre el big bang. Muchos relatos semipopulares de cosmología contienen afirmaciones en el sentido de que "el espacio mismo se está hinchando" causando que las galaxias se separen. Esto parece implicar que todos los objetos están siendo estirados por alguna fuerza misteriosa: ¿debemos inferir que los humanos que sobrevivieron durante un tiempo de Hubble tendrían aproximadamente cuatro metros de altura? Ciertamente no. Aparte de todo lo demás, esta sería una noción profundamente antirrelativista, ya que la relatividad nos enseña que las propiedades de los objetos en marcos inerciales locales son independientes de las propiedades globales del espacio-tiempo. Si entendemos que los objetos se separan ahora solo porque lo han hecho en el pasado, no tiene por qué haber confusión. Un par de objetos sin masa colocados en reposo uno con respecto al otro en un modelo uniforme no mostrarán tendencia a separarse (de hecho, la fuerza gravitacional de la masa que se encuentra entre ellos causará una aceleración relativa hacia adentro). En la demostración elemental común de la expansión mediante el inflado de un globo, las galaxias deben representarse con monedas pegadas, no con dibujos en tinta (que se expandirán espuriamente con el universo).

Entonces, la conservación de la energía todavía se puede usar para estudiar la evolución del sistema solar, el sistema galáctico, los cúmulos de galaxias, etc. Pero TODO el universo es algo diferente. Lo que observamos es solo una parte de ella, no podemos simplemente tomarla como la visión completa. Dado que la edad del universo es limitada (13,7 Gyr), puede haber muchos más objetos fuera de nuestra vista. Entonces no se pueden usar todas las leyes de conservación de un sistema cerrado.

Al contrario de algunas de las respuestas anteriores, la conservación de la energía se cumple exactamente en la relatividad general. Se puede derivar utilizando el teorema de Noether y la simetría temporal de las ecuaciones del campo gravitatorio cuando todos los campos, incluida la métrica gravitacional, se tratan como dinámicos.

Por supuesto, la ley de energía newtoniana 1/r no es aplicable a escala cosmológica, pero es cierto que la contribución gravitacional a la ecuación de energía es negativa en la relatividad general como lo es en la física newtoniana. Materia, radiación y energía oscura aportan términos positivos. En general, la energía en una región dada del espacio que podría expandirse con el tiempo cambia solo en una cantidad calculada como el flujo de energía sobre el límite de la región. Esta afirmación encarna la ley de conservación de la energía.

Hay muchas falacias que se repiten a menudo que hacen que la gente piense que la conservación de la energía en la relatividad general no se conserva exactamente. Lo más común es pensar que el teorema de Noether solo puede funcionar en un campo gravitatorio estático. Esto no es cierto siempre que la energía variable del propio campo gravitatorio esté incluida en la ecuación.

Para una explicación más completa se pueden consultar las entradas que publiqué en mi blog . Alternativamente, la entrada de Wikipedia sobre el "pseudotensor de tensión-energía-momento" es otro análisis válido, aunque yo mismo prefiero los formalismos covariantes.