¿Existe alguna prueba de que la expansión del espacio produce observadores en todos los puntos que ven lo que nosotros vemos?

Estás abordando la pregunta desde el lado equivocado.

La expansión del universo se describe mediante una solución particular a la ecuación de Einstein llamada métrica FLRW . Para derivar esta métrica tenemos que hacer algunas suposiciones, y las suposiciones clave son que el universo es isótropo y homogéneo, es decir, que es igual en todas partes.

Entonces, que el universo sea el mismo en todas partes es una suposición inicial que se utiliza para describir cómo se expande el universo. No es algo que se derive de la forma en que se expande el universo. Por supuesto, puede mostrar que la métrica FLRW implica isotropía y homogeneidad (como lo hace Timaeus), pero eso se debe a que esas suposiciones se incorporaron desde el principio.

Sí.

Puedes hacer un modelo donde tengas coordenadas$t, x,y,z$donde para cualquier$x,y,z$el universo se ve igual.

La métrica termina viéndose, por ejemplo, como

$$ds^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)$$ y puedes mover tu $x,y,z$tener algún valor y todo se ve igual (aunque las cosas se ven diferentes para diferentes valores de $t$). Terminas con las densidades de la materia y la radiación siendo únicamente funciones de $t$(que es solo una coordenada, no dice qué tan rápido funcionan los relojes, eso dependerá de la ruta que tomen los relojes y depende de la métrica completa anterior). Y luego también necesitas resolver para $a(t)$como una función del tiempo.

La función$a(t)$relaciona distancias coordinadas con distancias métricas reales. Estar a cierta distancia coordinada podría terminar acercándose o alejándose mucho más según el factor de escala$a(t)$cambios.

Ahora, tener esta métrica significa que todo se ve igual en todos los puntos del espacio. Pero eso no significa que su espacio se vea igual en todas las direcciones. Esto se debe a que todavía hay muchos espacio-tiempo que tienen esa métrica.

Por ejemplo, puede considerar el espacio

$$\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}.$$ Entonces $x$puede dar la vuelta como un ángulo en el $a,A$avión. En este espacio tenemos la misma métrica que $\{(t,x,y,z)\}$así que localmente todo se ve igual pero en uno de ellos cuando viajamos $2\pi$en el $x$dirección terminamos donde empezamos y eso no sucede si nos movemos en el $y$dirección o la $z$dirección.

Entonces, si desea que el universo se vea igual en todos los lugares y en todas las direcciones, debe tener más cuidado que solo tener una de las métricas locales que funcionan para eso. Pero eso demuestra que es difícil de comprobar.

Una forma de verificar es comenzar con$\{(t,x,y,z)\}$y$d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)$y luego hacer una transformación$x\mapsto X=x+\Delta x,$ $y\mapsto Y= y+\Delta y$y$z\mapsto Z=z+\Delta z,$para fijo$\Delta x,$ $\Delta y,$y$\Delta z.$Entonces$\{(t,x,y,z)\}=\mathbb R^4=\{(t,X,Y,Z)\}$y$dt^2-(a(t))^2(dX^2+dY^2+dZ^2)=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)= d\tau^2$así que la traducción no cambió nada. Los objetos y funciones son los mismos, solo los nombres y etiquetas que eran arbitrarios. Esto realmente muestra que es lo mismo en todos los puntos.

Luego haz otra transformación, esta vez rotando$(x,y,z)$a$(x',y',z')$por una cantidad y dirección fijas y observando que$\{(t,x,y,z)\}=\mathbb R^4=\{(t,x',y',z')\}$y$d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2)=dt^2-(a(t))^2(dx'^2+dy'^2+dz'^2)\}.$Esto muestra que se ve igual en todas las direcciones.

Para ser claros, esto no se puede hacer para el caso no isotrópico que mencioné antes:$\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}$con$d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(da^2+dA^2+dy^2+dz^2).$eso es porque la rotación no mapea ese conjunto$\{(t,a,A,y,z):a^2+A^2=1\}$a$\{(t,x,y,z)\}.$Demostrar que son diferentes se estableció al dar vueltas$2\pi$en uno te lleva de regreso y eso no pasa para el otro. Solo estaba tratando de dejar en claro que realmente hemos demostrado que el espacio se ve igual en todas las direcciones cuando tenemos$\{(t,x,y,z)\}$y$d\tau^2=dt^2-(a(t))^2(dx^2+dy^2+dz^2).$