Ley de Gauss y una carga externa

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico normal neto hacia el exterior a través de una superficie cerrada es igual a q t o t a yo , i norte s i d mi / ϵ 0 . Sin embargo, estoy un poco confundido acerca de por qué la presencia de una carga externa no influye en la solución. Siempre escucho como respuesta: "cualquier línea de campo que ingrese a la superficie cerrada, también la dejará", lo cual está bien. Sin embargo, el campo es inversamente proporcional a r 2 , por lo tanto, "saldrá" con una magnitud diferente y, por lo tanto, con un flujo diferente. Entonces, ¿cómo es posible que se cancelen entre sí? Y si es posible, realmente espero una explicación simple, sin involucrar demasiadas matemáticas. Sólo quiero obtener el concepto. Lo siento por una pregunta tan novata.

Creo que la mejor manera intuitiva y no matemática de entenderlo es notar que la carga eléctrica es la fuente del flujo eléctrico y si no tiene una fuente de flujo en un volumen, el flujo de salida neto será cero. (piense en una red de pesca en un río. ¿No está de acuerdo en que el flujo neto de fluido hacia afuera es igual a la entrada?)

Respuestas (2)

En un intento de ser breve: lo más importante para recordar es que el flujo también es proporcional al área (técnicamente, la integral de superficie del campo sobre el área). En términos generales, el lado de la superficie cerrada con líneas de campo salientes está más alejado de la carga externa que el lado con líneas de campo "entrantes", y el área de la superficie aumenta en r 2 (recuerda la fórmula para el área de superficie de una esfera). La Ley de Gauss es solo una forma matemáticamente precisa de establecer esta compensación.

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(Fuente de la imagen: http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1360/24Gauss/Gauss.html )

Me alegra saberlo, y gracias por el cumplido.
@DavidH - ¿Qué pasa si la superficie gaussiana es, digamos, un cubo? Todos sus lados tienen la misma área.
@ user37433 No estoy muy seguro de lo que estás preguntando. ¿Qué intentas hacer con esta superficie cúbica gaussiana?
@DavidH: usted dijo que "el lado de la superficie cerrada con líneas de campo salientes está más alejado de la carga externa que el lado con líneas de campo" entrantes ", y el área de la superficie aumenta en r 2 ". Pero, ¿por qué debería aumentar? Hasta donde yo sé, somos libres de elegir cualquier superficie gaussiana. Entonces, si elijo un cubo, no habrá un lado con un área más grande.

Considere esto como un apéndice de otras respuestas. Espero que esto le haga creer que 'el número de líneas' no es solo una descripción cualitativa del flujo, sino también cuantitativa.

En realidad, con el uso de la ley de Gauss, puedes probar que el flujo a través de una superficie es proporcional al número de líneas que la cruzan (bajo ciertas condiciones). Desafortunadamente, no tengo tiempo para hacer dibujos nítidos, pero espero que la imaginación sea suficiente.

Comencemos desde una carga en el campo externo (para que todas las líneas de campo comiencen desde esta carga). Considere una superficie pequeña por la que desea pasar el fundente. Digamos que es algún disco. Luego, puede mover el límite de este disco hacia la carga a lo largo de las líneas de campo, por lo que obtendrá una especie de cono deformado con la carga como vértice. Ahora, no podemos hablar sobre el campo en la carga, así que restamos una pequeña bola alrededor de esta carga del cono. Ahora tenemos dos lugares donde las líneas de campo se cruzan con el cono: cerca de la carga, las líneas entran en nuestro cono y luego salen a través de nuestra superficie (ya que las líneas son tangentes a las otras partes del límite por construcción). Ahora, está claro (a partir de la ley de Gauss) que el flujo también es el mismo. Y, cerca de la carga, está claro que si dibujamos suficientes líneas, y repartirlos homogéneamente a su alrededor, en la medida en que en esta pequeña área el campo está determinado mayoritariamente por la propia carga, el flujo es proporcional al número de líneas. Entonces, como hemos mostrado, este flujo y el número de líneas son solo las que atraviesan nuestra superficie.

Cuando tenemos varias cargas, tenemos que dividir nuestra superficie en partes de manera que cada parte se mueva completamente a su propia carga. En realidad, esa pieza siempre tiene una carga a la que ir, pero puede tener dos opciones: ir a una carga negativa o positiva. Y tienes que hacer que el número total de líneas que van desde un cargo sea proporcional a su valor. Seguramente, hay un error numérico, que va a cero a medida que aumentas el número de líneas por unidad de carga. Y, una vez más, es divertido que este proceso descrito anteriormente corte naturalmente cualquier superficie en pedazos que pueden atribuirse a cargas (o pares de cargas).

Gracias por la respuesta. Entiendo tu concepto, pero de repente tengo otra pregunta: ¿por qué debería ser un cono? Quiero decir, ¿por qué deberíamos tener un área más pequeña en un lado y un área más grande en el otro? ¿Tiene algo que ver con el hecho de que el campo es radial? ¿Por qué no tomar un cilindro por ejemplo, con las mismas bases en cualquier intersección? ¿Es porque el cuerpo se hace más grande y por lo tanto tenemos que comparar un área más grande? ¿Y podría explicar por qué el Δ ϕ 1 / Δ ϕ 1 en la respuesta de cthulhu es independiente de los cosenos?
@ grjj3 La idea clave es que mueva el límite a lo largo de las líneas del campo, de modo que el campo dicte la forma. Obtienes un cono porque las líneas de campo parten de una carga. Si consideras un avión cargado, entonces tienes que modificar un poco la prueba, pero obtendrás un cilindro.
@ grjj3, en cuanto a los cosenos: el ángulo sólido Δ Ω es fijo, y hay que dividirlo por el coseno para obtener el área y luego multiplicar por el mismo coseno que sale de la proyección del campo eléctrico.
Gracias por la explicación del cono. ¿Qué pasa con los cosenos? Realmente no veo en esa prueba el uso de un ángulo sólido, sino solo el uso de la similitud geométrica. Es como si supusiera que las bases de los conos son paralelas entre sí. ¿Cómo es eso posible (sin hablar de ángulo sólido. Simplemente no aprendí ese tema todavía, aunque lo entiendo aproximadamente)? Perdón por mis preguntas de novato. La prueba se ve muy simple y agradable al igual que tu explicación, pero estos cosenos son la única parte que me confunde.
@ grjj3 Vea mi comentario a esa respuesta. El uso es que Δ S 1 = r 1 2 Δ Ω / porque ⁡ α 1 , hasta un cartel.
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