Derivación axiomática: ¿qué implica prácticamente la instanciación de un axioma?

Eso tiene sentido para mí: si$p$es cierto entonces$p$es verdad.

reconozco que$\phi\to(\psi\to\phi)$es una tautología, técnicamente es cierta para cada dos proposiciones independientemente de si están relacionadas.

Estos dos comentarios me sugieren que te estás acercando a la lógica desde una perspectiva sesgada: parece que una prueba necesita tener sentido para ti intuitivamente para ser una prueba.

En cierto sentido, esto es, por supuesto, deseable, ya que usamos demostraciones para sacar conclusiones que finalmente tienen sentido para otras personas (o al menos para otros matemáticos). Pero la lógica formal es en realidad mucho más que eso. Estudia las partes de "tener sentido" eliminando todo el equipaje que introduce nuestra intuición y reduciendo los argumentos a nada más que lo esencial.

Entonces, primero deshagámonos de nuestra intuición y luego reintrodúzcala más tarde.

Una prueba lógica puede verse como una especie de receta. Comienza con los ingredientes básicos, que son los axiomas y las reglas de inferencia , y luego elabora una prueba instanciando axiomas (es decir, produciendo una oración con la misma estructura que el axioma, aunque las variables pueden reemplazarse) y aplicando reglas de inferencia. Y eso es todo Nada nos dice que los axiomas o las reglas de inferencia deban tener sentido, o que deban satisfacer ciertos requisitos motivados por nuestra intuición. En cierto sentido, una prueba no es más que la manipulación de símbolos, y estos símbolos pueden estar desprovistos de cualquier "significado" en lo que se refiere a la prueba.

Echemos un vistazo a su prueba.

El primer paso es asumir$p$, porque nuestro objetivo es obtener$p\vdash q\to p$, por lo tanto$p$puede tomarse como una suposición, ya que es una de las expresiones antes de la$\vdash$símbolo.

El segundo paso es hacer una instanciación del axioma$\phi\to(\psi\to\phi)$, no porque este axioma tenga sentido, sino porque es un axioma , y ​​las reglas dictan que siempre podemos instanciar axiomas. Instanciar axiomas significa que podemos reemplazar sus variables con lo que queramos, por lo que podemos reemplazar$\phi$con$p$y$\psi$con$q$. Por lo tanto, hemos deducido que$\vdash p\to (q\to p)$.

Finalmente, dado que hemos derivado ambos$\vdash p$y$\vdash p\to(q\to p)$la regla de inferencia modus ponens nos dice que podemos derivar$\vdash q\to p$.

Dado que hicimos las cosas exactamente siguiendo las reglas (tomando suposiciones, instanciando axiomas, usando reglas de inferencia), hemos hecho una prueba válida.

Ahora, para que nuestra intuición vuelva a entrar en escena, los axiomas y las reglas del cálculo proposicional se eligen para que también tengan sentido intuitivo . Podemos ver$p\to q$como símbolo del significado de "$p$debe ser cierto, o$q$debe ser falso". Esta es la semántica de la expresión$p\to q$y, de hecho, la semántica de los axiomas y las reglas del cálculo proposicional tienen sentido intuitivo para muchas personas.

Tenga en cuenta que esto también responde a su segunda pregunta: no tiene que haber una relación (causal) entre$p$y$q$bajo esta semántica de$p\to q$. Su intuición debería ser que esto significa$p$es cierto, o$q$es falso

Puedes crear totalmente una lógica donde$p\to q$tiene una semántica diferente, como una en la que$p\to q$sólo puede ser válido si$p$y$q$están relacionados entre sí. Un ejemplo de tal (colección de) lógica(s) es la lógica de relevancia . Pero ese es un sistema diferente a la lógica proposicional clásica que estás estudiando. Tiene diferentes axiomas, diferentes reglas de inferencia y diferentes semánticas.

Como ejemplo para desafiar tu intuición, podría definir una lógica con los axiomas:

• $\psi \sim \bigcirc \psi$
• $\bigcirc \psi \sim \triangle \psi$

y la regla de inferencia:

• $\phi,\phi\sim \psi\vdash \psi$

Entonces podrías probar que$p\vdash \triangle p$. ¿Tiene algún sentido intuitivo ? No, porque no tenemos idea de lo que significan estos símbolos. Pero, ¿puedes crear una prueba válida? Absolutamente:

Asumimos$p$, entonces por el primer axioma podemos derivar$p\sim \bigcirc p$, entonces por la regla de inferencia$p,p\sim\bigcirc p\vdash \bigcirc p$. Ahora por el segundo axioma podemos derivar$\bigcirc p\sim \triangle p$, así que como hemos derivado$\bigcirc p$y$\bigcirc p\sim \triangle p$podemos usar la regla de inferencia para derivar$\triangle p$. Por lo tanto$p\vdash \triangle p$.

todavía hay una relación en la dirección opuesta: cuando Hanks estrena una película, los pájaros tienen que aparecer

No esto no es correcto. Tienes:

$q$= Tom Hanks lanza una nueva película

$p$= Veo un pájaro en el cielo

El axioma que estás instanciando es:$p \rightarrow (q \rightarrow p)$.

Esto no dice, "cuando Hanks estrena una película, tienen que aparecer pájaros". Eso sería$q \rightarrow p$.

en cambio tienes$p \rightarrow (q \rightarrow p)$, que es "Si [ya] hay un pájaro en el cielo, entonces si Tom Hanks lanza una película, entonces hay un pájaro en el cielo". Por supuesto esto es verdad.