Hay un problema aparente con el que me encontré que me molesta sin fin.
Tome una proposición como "La nieve es blanca". “La nieve es blanca” y su negación “La nieve no es blanca” son obviamente contradictorias. Sin embargo, cuando se expresan en la lógica de predicados, ∀x(Sx → Wx) y ∀x(Sx → ~Wx) respectivamente, dejan de ser contradictorias y se vuelven contrarias: no hay forma de que estas dos proposiciones conlleven una contradicción; sólo pueden implicar la implicación de Sx de una contradicción.
Lo que parece estar sucediendo aquí es que las proposiciones contradictorias en la lógica proposicional son contrarias en la lógica de predicados de tal manera que, debido a que las proposiciones contradictorias no son contradictorias, las proposiciones contradictorias en la lógica proposicional no lo son en la lógica de predicados. Sin embargo, si tanto la lógica proposicional como la lógica de predicados son legítimas, ¿no nos vemos obligados a aceptar la conclusión absurda de que ninguna proposición contradictoria es contradictoria?
¿Cómo se puede resolver este problema? Más importante aún, ¿es esto un problema o simplemente estoy terriblemente confundido acerca de algo?
Gracias de antemano por su tiempo y ayuda.
Algo que es una contradicción en la lógica proposicional sigue siendo una contradicción en la lógica de predicados. El problema con tus ejemplos es que no son particularmente claros en cuanto a si estás hablando de toda la nieve o solo de una parte.
"La nieve es blanca" y "la nieve no es blanca" no son contradicciones en la lógica proposicional. Para eso, necesitarías, "la nieve es blanca" y "no es el caso que la nieve sea blanca". Podrías simbolizarlos en la lógica proposicional como P y ¬P y luego serían un par contradictorio y seguirían siendo un par contradictorio en la lógica de predicados.
En la lógica de predicados, ∀x(Sx → Wx) podría leerse como "todas las cosas nevadas son blancas" y ∀x(Sx → ¬Wx) como "todas las cosas nevadas no son blancas". Estos no son contradictorios, ya que ambos serían falsos en el caso de que algunas cosas nevadas sean blancas y otras no. Estrictamente, tampoco son contrarios, ya que ambos son verdaderos si no hay cosas nevadas. Si desea incluir el compromiso de que existen algunas cosas nevadas, deberá escribir ∀x(Sx → Wx) ∧ ∃ySy y ∀x(Sx → ¬Wx) ∧ ∃ySy respectivamente.
Si desea entender que "la nieve es blanca" significa que toda la nieve es blanca, entonces su contradicción es "no es el caso de que toda la nieve sea blanca", que en la lógica de predicados es ¬∀x(Sx → Wx) o ∃ x(Sx ∧ ¬Wx). Estos son contradictorios con ∀x(Sx → Wx) por lo que la contradicción permanece.
Su confusión parece surgir de no distinguir entre "no es el caso de que toda la nieve sea blanca" y "toda la nieve no es blanca".
La oración en inglés snow is white no se traduce a la oración FOL \forall . x S(x) -> W(x). Hay dos razones para esto:
Pero (2) no es realmente relevante para tu pregunta, así que concentrémonos en (1). Los genéricos son oraciones como las siguientes:
Expresan intuitivamente generalizaciones de algún tipo, pero los lingüistas no han tenido mucho éxito al descubrir los detalles de cómo funciona su semántica. Sin embargo, una cosa que está clara es que no expresan una cuantificación universal o existencial. No expresan cuantificación universal porque, por ejemplo, (4) y (5) son verdaderas, pero (4') y (5') no lo son:
4'. todas las joyas son caras
5'. todos los patos ponen huevos
(4') es falsa porque algunas joyas son baratas (una vez compré un collar por un dólar) y (5') es falsa porque los patos machos no ponen huevos. Tenga en cuenta que lo mismo se aplica a su oración: (8) es cierto, pero (8') no lo es (solo mire un poco de nieve sucia al costado del camino):
8'. toda la nieve es blanca
Esto muestra que los genéricos no expresan cuantificación universal. De ello se deduce que el hecho de que (8) y (8'') sean contradictorios, pero (9) y (9') no lo sean, tiene menos que ver con la traducción de oraciones de lógica proposicional a FOL y más con los matices de genéricos:
8''. la nieve no es blanca
9'. \para todo x. Nieve(x) -> ~Blanco(x)
También vale la pena mencionar que los genéricos no expresan cuantificación existencial porque, por ejemplo, (6) y (7) son falsos, pero (6') y (7') son verdaderos:
6'. algunas personas tienen más de tres años
7'. algunos maestros de escuela primaria son mujeres
Si desea obtener más información sobre los genéricos, puede consultar el capítulo de Ariel Cohen en este manual o la entrada SEP de Sarah Jane Leslie .
EDITAR: estoy respondiendo las preguntas de seguimiento de @falcon aquí:
Pregunta 1 : "¡Gracias por su respuesta! Entonces, ¿lo que está diciendo es lo siguiente? "S son P" no necesariamente se traduce como "Todos los S son P" o "Algunos S son P", tampoco "S son no P" necesariamente se traduce como "Todos los S no son P" o "Algunos S no son P". Esto se debe a que "S son P" y "S son no P" son genéricos, y los genéricos no expresan cuantificación universal ni existencial. "
Respuesta: Exactamente.
Pregunta 2 : "Los genéricos no expresan cuantificación porque un genérico puede ser verdadero y su declaración cuantificada correspondiente falsa, y viceversa: sus dos ejemplos: "Los patos ponen huevos" es verdadero, pero "TODOS los patos ponen huevos" es falso ; "Los maestros de escuela primaria son mujeres" es falso, pero "ALGUNOS maestros de escuela primaria son mujeres" es cierto".
Respuesta : Sí, pero con una salvedad. Los genéricos no expresan cuantificación universal o existencial , pero muchos lingüistas piensan que sí expresan un tercer tipo distinto de cuantificación llamado cuantificación genérica .
Pregunta 3 : "Y si todo lo anterior es correcto, ¿crees que también se cumpliría lo siguiente? Debido a las diferencias en el valor de verdad entre los genéricos y sus correspondientes enunciados cuantificados, la inferencia de cualquier genérico a su correspondiente cuantificado- declaración no es tautóloga. Debido a esta falta de tautología, ningún genérico tiene garantizado ningún cuantificador en particular: los genéricos tienden a ser ambiguos en lo que respecta a la cuantificación, y debemos proporcionar el cuantificador que falta recurriendo al contexto en el lenguaje natural ".
Respuesta : No, no creo que sea correcto. Una expresión es ambigua si tiene varias interpretaciones distintas asociadas. En tal caso, debería poder parafrasear cada interpretación y encontrar escenarios en los que solo uno de ellos sea verdadero. Por ejemplo, la oración todos los estudiantes reprobaron un examen es ambigua porque tiene exactamente dos interpretaciones distintas asociadas. Y podemos parafrasearlos:
Primera interpretación: hay un examen que todos los estudiantes reprobaron
Segunda interpretación: todos los estudiantes reprobaron algún examen u otro
Y finalmente, podemos identificar situaciones en las que solo la segunda interpretación es cierta (por ejemplo, hay dos estudiantes y dos exámenes y el primer estudiante aprobó el primer examen, pero reprobó el segundo, mientras que el segundo estudiante reprobó el primer examen, pero aprobó el segundo). segundo).
Sin embargo, este no es el caso de los genéricos. es decir, no es el caso de que la oración la nieve es blanca signifique que toda la nieve es blanca en algunos contextos, pero algo de nieve es blanca en otros contextos. (¡Intenta pensar en tales contextos!). Más bien, en todos los contextos, la oración parece tener una sola interpretación que simplemente no es equivalente a toda la nieve es blanca o alguna nieve es blanca .
Dicho esto, aquí hay algo interesante que no es directamente relevante para su pregunta: la misma estructura sintáctica superficial se puede usar para expresar existenciales y genéricos. Por ejemplo,
1 a. los mapaches son mamíferos .
b. los mapaches se están comiendo nuestra basura
2 a. un teléfono celular es un medio de comunicación portátil
b. un teléfono celular está sentado sobre la mesa. ¿sabes a quién pertenece?
(1a) y (2a) son genéricos, pero (1b) y (2b) son existenciales. También hay pruebas empíricas para diferenciarlos. Los existenciales son implicantes ascendentes, pero los genéricos no. Y el predicado en un existencial debe ser un predicado de nivel de etapa, pero el predicado en un genérico debe ser un predicado de nivel individual (advertencia: esto no es del todo cierto para los singulares indefinidos). Pero esto no está directamente relacionado con tu pregunta.
Pregunta 4 : "Mi error fue no tener en cuenta esta ambigüedad, una ambigüedad que surge de, como usted dice, "los matices de los genéricos"."
Respuesta : Ya respondí esto en su mayoría, pero no, no creo que sea correcto. Creo que la oración la nieve es blanca es inequívoca. Su error fue interpretarlo como un universal cuando en realidad es (sin ambigüedades) un genérico.
Geoffrey Thomas