¿Existe una descripción intuitiva del enredo en el vacío?

Si tiene un oscilador armónico en x, la función de onda del estado fundamental es una gaussiana;

$$H = {p^2\over 2} + {\omega^2 x^2\over 2}$$

$$\psi_0(x) = e^{ - {\omega x^2\over 2}}$$

Si tiene dos osciladores independientes x,y;

$$H = {p_x^2\over 2} + {p_y^2\over 2} + {\omega_1^2 x^2\over 2} + {\omega_2^2 y^2\over 2}$$

el estado fundamental es un producto:

$$\psi_0(x,y) = e^{-{\omega_1 x^2\over 2}} e^{-{\omega_2 y^2\over 2}}$$

Entonces no hay entrelazamiento en el estado fundamental entre x e y. Pero si lo miras en una base rotada (y$\omega_1 \ne \omega_2$), hay enredo.

Para un campo cuántico escalar en una red espacial en volumen finito (el tiempo aún es continuo), tiene (si transforma Fourier en el espacio) un grupo de osciladores armónicos desacoplados (la suma de k es sobre k no redundantes para un escalar real campo, esto es la mitad del espacio completo$k_x>0$):

$$H = \sum_k {1\over 2} \dot{\phi_k}^2 + {k^2+m^2\over 2} \phi^2$$

Que es un montón de osciladores desacoplados, por lo que el estado fundamental es;

$$\psi_0(\phi_k) = \prod_k e^{-{\sqrt{k^2+m^2} |\phi_k|^2\over 2}}$$

Eso no está enredado en términos de$\phi_k$, pero en cuanto a la$\phi_x$(en el enrejado), está enredado. La función de onda de vacío gaussiana se puede expresar aquí como:

$$\psi_0(\phi) = e^{-\int_{x,y} \phi(x) J(x-y) \phi(y)}$$

Dónde$J(x-y) = {1\over 2} \sqrt{\nabla^2 + m^2}$no es el propagador, es este extraño operador de raíz cuadrada no local.

El vacío para las teorías de campos bosónicos es una distribución estadística, es una distribución de probabilidad, que es la probabilidad de encontrar una configuración de campo$\phi$en una simulación de Monte Carlo en cualquier intervalo de tiempo imaginario en una simulación (cuando hace que la coordenada t sea larga). Esta es una interpretación del hecho de que es real y positivo. Las correlaciones en esta distribución de probabilidad son las correlaciones de vacío, y para campos libres son fáciles de calcular.

En mi opinión, no vale la pena leer el material de la teoría axiomática del campo. Es confuso y delata ignorancia de las ideas fundamentales del campo, incluidas Monte Carlo y la integral de ruta.

Función de onda de vacío general para campos bosónicos

En cualquier integral de trayectoria para campos bosónicos con una acción real (teoría invariante PT), y esto incluye la teoría pura de Yang-Mills y teorías con fermiones integrados, la función de onda de vacío es exactamente lo mismo que la distribución de probabilidad de los valores de campo en la formulación del tiempo euclidiano de la teoría. Esto es cierto fuera de la teoría de la perturbación, y hace completamente ridículo que no exista la teoría matemática rigurosa. La razón es que los límites de las distribuciones de probabilidad sobre campos a medida que la red se vuelve fina son molestos de definir en la teoría de la medida, ya que se convierten en medidas sobre distribuciones.

Para ver esto, observe que en t=0, ni la teoría del tiempo imaginario ni la del tiempo real tienen factores de evolución temporal, por lo que son equivalentes. Entonces, en una caja imaginaria ilimitada en el tiempo, los valores esperados en la teoría euclidiana en un segmento de tiempo son iguales a los valores esperados de vacío de tiempo igual en las teorías de Lorentz.

Esto le da una definición de Monte Carlo de la función de onda de vacío de cualquier teoría de campo bosónico invariante de PT, libre o no. Esta es la principal idea sobre los estados fundamentales de Feynman, descrita explícitamente en la integral de trayectoria y en el trabajo sobre el estado fundamental del He4 líquido en la década de 1950 (este también es un sistema bosónico, por lo que el estado fundamental es una distribución de probabilidad). Se utiliza para describir el vacío Yang-Mills 2+1 en 1981 por Feynman (su último artículo publicado), y Karbali y Nair amplían este trabajo para calcular la tensión de la cuerda hace aproximadamente una década.

Para responder "¿Existe una descripción intuitiva del entrelazamiento en el vacío?", nos gustaría señalar que para definir el entrelazamiento en una teoría cuántica (definida por un espacio de Hilbert y un hamiltoniano), debemos asumir que el espacio total de Hilbert es un espacio directo -producto de los espacios locales de Hilbert:$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. (Por ejemplo, en un modelo de celosía,$\cal{H}_i$puede ser el espacio de Hilbert en el sitio-$i$.) Tal estructura de producto directo puede verse como una terminación UV de una teoría cuántica de campos. Por lo tanto, para discutir el entrelazamiento en el vacío, debemos suponer que el espacio de Hilbert total de nuestro universo tiene la estructura$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. La siguiente discusión se basa en tal suposición donde el "vacío" es simplemente el vector de estado fundamental en el espacio total de Hilbert$\cal{H}_{tot}$.

Los estados fundamentales de casi todos los hamiltonianos están enredados (ya que esos estados fundamentales en general no son estados de producto). Entonces, el vacío, como un estado fundamental genérico, también es un estado enredado.

Sin embargo, el vacío de nuestro universo es muy especial: nuestro vacío es en realidad un estado entrelazado de largo alcance , o en otras palabras, un estado topológicamente ordenado . Esto se debe a que solo se sabe que los estados entrelazados de largo alcance producen ondas electromagnéticas que satisfacen la ecuación de Maxwell y fermiones que satisfacen las ecuaciones de Dirac (como excitaciones colectivas por encima del estado fundamental). Escribí un artículo para describir esto en detalle. Véase también la pregunta PE .

Entonces, el hecho de que nuestro vacío admita fotones y fermiones (como cuasipartículas) implica que nuestro vacío es un estado entrelazado de largo alcance.

Las diapositivas de Summers hacen un mal uso de la terminología convencional (aunque por una razón formalmente justificada que se explica a continuación), lo que genera confusión.

Los estados entrelazados son, según la definición convencional (tal como se da, por ejemplo, en Wikipedia), definidos en un producto tensorial con más de un factor de dimensión$>1$.

Por otro lado, el estado de vacío de una teoría libre y de cualquier representación asintótica de una teoría interactuante es un estado definido en un espacio de Fock, que es una suma directa de todos los espacios de productos tensoriales.$H_N$representando a la$N$-sector de partículas ($N=0,1,2,\dots$). Por definición, el estado de vacío abarca el$0$-sector de partículas, que es un espacio unidimensional y no forma parte de ninguno de los espacios de producto tensorial dentro del espacio de Fock.

Por lo tanto, no tiene sentido (es decir, no está respaldado por definiciones formales consistentes) llamar enredado al estado de vacío en el sentido convencional.

Para aclarar aún más las cosas, puede ser un buen ejercicio considerar QM no relativista en el segundo formalismo de cuantización utilizado en la mecánica estadística. Allí, lo anterior se muestra claramente y se puede interpretar en términos de funciones de onda multipartícula ordinarias, y queda claro que la aplicación de Summer del concepto de entrelazamiento convencional al estado de vacío es falsa.

Sin embargo, Summers introduce en la diapositiva 12 un concepto de entrelazamiento diferente adaptado a estados en una teoría cuántica de campos, que se aplica al estado de vacío. Está vagamente relacionado con el enredo ordinario en que el$N=1$sector de un QFT está representado por funciones de correlación de vacío de 2 puntos, aunque ninguno de los estados con$N=1$es un estado de vacío. Por lo tanto, uno puede imitar las desigualdades habituales de Bell en este marco.

De acuerdo con esta definición, las afirmaciones de Summers sobre el estado de vacío tienen sentido. Pero no deben confundirse con el entrelazamiento ordinario, ya que representan, traducidos a QM ordinario, declaraciones sobre pares de estados de 1 partícula en lugar de declaraciones sobre el vacío.

Editar: la analogía en la que se deben considerar las cosas es que en el caso de QFT, el producto tensorial no está en el espacio de estados sino en un espacio de operadores adecuadamente elegido. Es por esto que la maquinaria formal tipo Campana se puede adaptar a esta situación.

Para un campo cuántico que no interactúa, toda la estructura matemática de los VEV puramente gaussianos, que es el estado de vacío, está contenida en el VEV de 2 puntos, que para el campo KG es la distribución

$$\left<0\right|\hat\phi(x+y)\hat\phi(y)\left|0\right>=\frac{m\theta(x^2)}{8\pi\sqrt{x^2}}\left[Y_1(m\sqrt{x^2})+\epsilon(x_0)iJ_1(m\sqrt{x^2})\right]-\frac{\epsilon(x_0)i}{4\pi}\delta(x^2)$$ $$\hspace{7em}+\frac{m\theta(-x^2)}{4\pi^2\sqrt{-x^2}}K_1(m\sqrt{-x^2}).$$ La segunda línea da la función de correlación en la separación similar al espacio, donde las mediciones conjuntas siempre son posibles, mientras que en la separación similar al tiempo o similar a la luz, el componente imaginario de la primera línea hace que las mediciones sean incompatibles. Por supuesto, la incompatibilidad de las medidas introduce problemas a los que no se les da fácilmente un brillo intuitivo, pero lo anterior muestra la naturaleza de las correlaciones para el caso de campo libre.

El término de la función de Bessel en la separación similar al espacio es$\frac{1}{4\pi^2(-x^2)}$en pequeño$x$, mientras que asintóticamente se convierte en$\sqrt{\frac{2m}{\pi^3\sqrt{-x^2}^3}}\,\frac{\exp{\left(-m\sqrt{-x^2}\right)}}{8}$para grande$x$.

Para los campos que interactúan, la función de 2 puntos siempre tiene una forma comparable, manchada por una densidad de masa, la representación de Källén-Lehmann , pero los VEV de orden superior son relativamente no triviales.