Lanzar masas para ganar velocidad. Una cuestión de eficiencia

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Lanzar masas para ganar velocidad. Una cuestión de eficiencia

Ponciopo

Estaba pensando el otro día en un sistema en el que expulsas masa. Y luego me pregunto si era más eficiente lanzar una gran masa o muchas pequeñas. Déjame ponerlo en otros términos.

Suponga que se está moviendo a una velocidad constante $v_0$ en un automóvil con una masa total $M$ . Entonces decides lanzar una bola de masa $m$ con una velocidad de salida de $v_e$ . Y lanzas la pelota en dirección opuesta al movimiento. (El problema es en una dimensión) La pelota se moverá a $v_\mathrm{ball}= v_0 - v_e$ . Por conservación de la cantidad de movimiento,

{PAG}_{1} = METRO v_{0}

$P_1 = Mv_0$

Pero luego, después de lanzar la pelota, el impulso es

{PAG}_{2} = metro (v_{0} - v_{mi}) + (METRO - metro) V

$P_2= m(v_0-v_e) + (M-m)V$ dónde

V

$V$ es la nueva velocidad. Vamos a escribir

V = v_{0} + Δ V

$V= v_0 + \Delta V$ porque estaremos interesados en

Δ V

$\Delta V$ . Entonces podemos escribir

\begin{aligned} {PAG}_{2} & = metro v_{0} - metro v_{mi} + METRO v_{0} - metro v_{0} + (METRO - metro) Δ V \\ = METRO v_{0} - metro v_{mi} + (METRO - metro) Δ V \end{aligned}

$\begin{aligned} P_2&= mv_0 -mv_e +Mv_0 -mv_0 + (M-m)\Delta V\\ &= Mv_0 -mv_e + (M-m)\Delta V \end{aligned}$

Si suponemos que no hay fuerzas externas $P_1=P_2$ tendremos una ecuación:

Δ V = \frac{metro}{METRO - metro} v_{mi}

$\Delta V= \frac{m}{M-m}\ v_e$ Y aquí es donde se pone raro. Si tiramos a las masas

m

$m$ . Pero al mismo tiempo obtendremos una primera

Δ V_{0}

$\Delta V_0$

Δ V_{0} = \frac{2 metro}{METRO - 2 metro} v_{mi}

$\Delta V_0=\frac{2m}{M-2m}\ v_e$ Pero si tiramos la primera masa y luego la segunda masa llegaremos a

Δ V

$\Delta V$ está con:

\begin{aligned} Δ V_{1} & = \frac{metro}{METRO - metro} v_{mi} \\ Δ V_{2} & = \frac{metro}{(METRO - metro) - metro} v_{mi} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta V_1&=\frac{m}{M-m}\ v_e\\ \Delta V_2&=\frac{m}{(M-m)-m}\ v_e \end{aligned}$ La probabilidad total en velocidad es la suma de 1 y 2

Desde $M-2m<M-m$ entonces $\frac{1}{M-2m} > \frac{1}{M-m}$ entonces $\frac{2}{M-2m}\ m\ v_e > (\frac{1}{M-m}+ \frac{1}{M-2m})\ m\ v_e$

Esto -creo- sugiere que ganas más velocidad si lanzas una gran masa de un tiro que si los lanzas en dos pedazos. Mi maestro me dijo que obtendrás más velocidad si los separas. Pero parece que está equivocada. Tengo algunas dudas sobre este problema. ¿Qué opinas? ¿Cuál es la forma más "eficiente" de ganar velocidad suponiendo que puede lanzarlos a la misma velocidad? $V_e$ .

usuario107153

Estoy razonablemente seguro de que no importa. Pienso esto porque lo que estás describiendo es un cohete, aunque emite su empuje en grandes trozos. Y a la ecuación del cohete de Tsiolkovsky no le importan los trozos, solo la masa inicial y final y la velocidad de escape. Es

Δ v = v_{e} \ln (m_{i} / m_{f})

$\Delta v = v_e \ln(m_i/m_f)$ , dónde

v_{e}

$v_e$ es la velocidad de escape (qué tan rápido arrojas las masas) y

m_{i}, m_{f}

$m_i, m_f$ son las masas inicial y final, respectivamente.

Ponciopo

@AccidentalFourierTransform gracias, creo que se ve mejor. Por cierto tienes un lindo nombre (:

Ponciopo

@tfb sí, también tengo la idea de un cohete pero es diferente. Porque es el caso continuo. Donde disparas un dm de masa cada vez, es el límite del caso dos. Pero en el caso discreto esa ecuación no es tan útil. O no se como usarlo

Diracología

@tfb ¡Sí importa! Para llegar a la ecuación del cohete, considera que el cohete está expulsando materia infinitesimalmente. Si hubiera emitido solo una gran parte, el resultado sería

Δ v = m v_{e} / (M - m)

$\Delta v=m v_e/(M-m)$ .

usuario107153

@Diracology Doh, sí, estoy siendo un idiota.

duncan harris

@AccidentalFourierTransform Soy incapaz de formatear ecuaciones, ¿puedes hacer tu magia en mi respuesta también? O simplemente enlace las instrucciones sobre cómo hacerlo... ¡Gracias!

Respuestas (2)

Lanzar masas para ganar velocidad. Una cuestión de eficiencia

Estoy razonablemente seguro de que no importa. Pienso esto porque lo que estás describiendo es un cohete, aunque emite su empuje en grandes trozos. Y a la ecuación del cohete de Tsiolkovsky no le importan los trozos, solo la masa inicial y final y la velocidad de escape. Es $\Delta v = v_e \ln(m_i/m_f)$ , dónde $v_e$ es la velocidad de escape (qué tan rápido arrojas las masas) y $m_i, m_f$ son las masas inicial y final, respectivamente.
@AccidentalFourierTransform gracias, creo que se ve mejor. Por cierto tienes un lindo nombre (:
@tfb sí, también tengo la idea de un cohete pero es diferente. Porque es el caso continuo. Donde disparas un dm de masa cada vez, es el límite del caso dos. Pero en el caso discreto esa ecuación no es tan útil. O no se como usarlo
@tfb ¡Sí importa! Para llegar a la ecuación del cohete, considera que el cohete está expulsando materia infinitesimalmente. Si hubiera emitido solo una gran parte, el resultado sería $\Delta v=m v_e/(M-m)$ .
@AccidentalFourierTransform Soy incapaz de formatear ecuaciones, ¿puedes hacer tu magia en mi respuesta también? O simplemente enlace las instrucciones sobre cómo hacerlo... ¡Gracias!

duncan harris · Answer 1

Todas sus matemáticas son correctas, pero su resultado entra en conflicto con nuestra intuición y con la realidad de cómo funcionan los cohetes. He aquí por qué:

Usted supone que "La pelota se moverá a $v_\mathrm{ball}=v_0-v_e$ ". Esta aproximación es válida sólo en el límite donde $m$ es mucho más pequeño que $M$ . (es decir, el límite de un flujo continuo de pequeñas bolas, como un cohete normal) En el caso de grandes trozos de masa, el proceso de aceleración de la bola acelerará el coche lo suficiente como para alterar significativamente la velocidad de escape.

Esta es la velocidad final de la pelota en la realidad:

v_{b a yo yo} = (v_{0} + Δ V) - v_{mi}

$v_\mathrm{ball}=(v_0+\Delta V)-v_e$

Trabajar con esta suposición en lugar de la tuya debería conducir al resultado opuesto, reivindicando a tu maestro. Es más eficiente lanzar muchas masas pequeñas que una grande.

¿Cómo se verán las matemáticas si consideras esa velocidad para la pelota? Tengo un poco de problemas para entender el efecto de la aceleración.
El mismo enfoque matemático que usó en su pregunta funciona muy bien. Solo habrá dos términos que incluyan ΔV en la expresión del impulso en lugar de uno. Todavía debería poder resolver para ΔV.

Diracología · Answer 2

Este es un problema bastante sutil. Tienes que tener cuidado con tres situaciones diferentes. Se puede lanzar una pelota con velocidad (relativa al suelo):

a) $v_0-v_e$ .

b) $v(t)-v_e$ , dónde $v(t)$ es la velocidad del carro justo después de lanzar la pelota.

C) $v(t)-v_e$ , dónde $v(t)$ es la velocidad del carro justo antes de lanzar la pelota.

En realidad planteaste el problema satisfaciendo a) pero lo resolviste usando c). Tu solución es correcta siempre que reformules cómo se lanzan las bolas. Tu maestro probablemente estaba considerando el caso b).

Caso b): Llamemos $v_i$ la velocidad del carro después de lanzar la i-ésima pelota. La conservación de la cantidad de movimiento justo después de lanzar la primera bola es

METRO v_{0} = (METRO - metro) v_{1} + metro (v_{1} - v_{mi}),

$Mv_0=(M-m)v_1+m(v_1-v_e),$ lo que da

v_{1} = v_{0} + \frac{metro v_{mi}}{METRO} .

$v_1=v_0+\frac{mv_e}{M}.$ Lanzar la segunda bola dará

(METRO - metro) v_{1} = (METRO - 2 metro) v_{2} + metro (v_{2} - v_{mi})

$(M-m)v_1=(M-2m)v_2+m(v_2-v_e)$

v_{2} = v_{1} + \frac{metro v_{mi}}{METRO - metro} .

$v_2=v_1+\frac{mv_e}{M-m}.$ Siendo la velocidad final

v_{2} = v_{0} + \frac{metro v_{mi}}{METRO} + \frac{metro v_{mi}}{METRO - metro} .

$v_2=v_0+\frac{mv_e}{M}+\frac{mv_e}{M-m}.$ Si lanzas las dos bolas al mismo tiempo obtienes

METRO v_{0} = (METRO - 2 metro) v_{2}^{'} + 2 metro (v_{2}^{'} - v_{mi}),

$Mv_0=(M-2m)v_2'+2m(v_2'-v_e),$ donación

v_{2}^{'} = v_{0} + \frac{2 metro v_{mi}}{METRO} .

$v_2'=v_0+\frac{2mv_e}{M}.$ Por lo tanto

v_{2} > v_{2}^{'}

$v_2>v_2'$ .

Buena respuesta. Creo que también es importante señalar que el caso B es especial porque es lo que sucede en cualquier situación de la vida real. Cualquier lanzador de bolas calibrado para v_e producirá el caso B cuando esté montado en un automóvil.
@DuncanHarris ¡Exactamente! Es usando el caso b) que obtenemos la ecuación del cohete.
¿Pero en realidad la velocidad será mayor si tiras el aparato? Entiendo que, dado que la velocidad es relativa, dependerá de la velocidad que midas, ¿entonces estás de acuerdo con mi maestro?
@Ponciopo En el caso b) demostraste que es mejor tirarlos de una vez. En el caso c) mostré que es mejor tirar uno cada vez. En el caso a) Tendrás que hacer los cálculos =).
Creo que lo confundiste con los casos en el último comentario o en la respuesta original.
@Ponciopo ¡Gracias por notarlo! Lo mezclé en mi último comentario.
@DuncanHarris ¿Por qué b es el caso real? ¿Por la aceleración que describiste antes?
Sí. También puede pensar en medir v_e mientras está sentado en el automóvil. ¿Cuándo lo mides? Tiene que ser después de que hayas terminado de lanzar la pelota. En este momento, la velocidad del auto ya ha sido incrementada por las fuerzas de tu lanzamiento.

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