Colisiones elásticas y conservación del momento

En una colisión elástica se conservan las masas de ambos objetos, la energía cinética total y el momento lineal total. La energía cinética tiene contribuciones de los movimientos de los objetos, así como de sus rotaciones. Si suponemos que no se produce ningún intercambio entre estas dos formas de energía cinética, es decir, que ambas formas se conservan por separado, tenemos

$$m_1\boldsymbol{v}_1 + m_2\boldsymbol{v}_2 = m_1\boldsymbol{w}_1 + m_2\boldsymbol{w}_2$$ y $$\tfrac{1}{2}m_1\boldsymbol{v}_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2\boldsymbol{v}_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1\boldsymbol{w}_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2\boldsymbol{w}_2^2$$ dónde $\boldsymbol{v}$y $\boldsymbol{w}$denote las velocidades antes y después de la colisión, respectivamente. Por lo tanto, tenemos 4 ecuaciones (3 componentes del momento y la energía) para 6 incógnitas (3+3 componentes de las velocidades posteriores a la colisión). En consecuencia, las ecuaciones anteriores (junto con $\boldsymbol{v}_{1,2}$) no restringen de forma única la $\boldsymbol{w}_{1,2}$. Se requiere alguna otra información para determinar la dirección relativa. Esto depende de las propiedades de los objetos y del punto de impacto.

El sistema de ecuaciones anterior es invariante bajo una transformación de Galileo, es decir, un cambio del origen de la velocidad. Se vuelven particularmente simples en el marco en el que se desvanece el impulso total. Deje que un primo denote velocidades en ese marco, entonces

$$\boldsymbol{v}' = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{V},\qquad \boldsymbol{V} = \frac{m_1\boldsymbol{v}_1+m_2\boldsymbol{v}_2}{m_1+m_2}$$ y tenemos $$m_1 \boldsymbol{w}'_1+m_2 \boldsymbol{w}'_2=0,\quad |\boldsymbol{w}'_1| = |\boldsymbol{v}'_1|,\quad |\boldsymbol{w}'_2| = |\boldsymbol{v}'_2|$$ (estas ecuaciones no son independientes, todavía hay solo 4 restricciones escalares independientes). En concreto, las velocidades siguen siendo las mismas en este cuadro .

En 1D tenemos 2 ecuaciones para 2 incógnitas y, por lo tanto, la solución está completamente determinada (además, no hay rotación en 1D). Dado que una colisión requiere$w_{1,2}\neq v_{1,2}$, tenemos$w_{1,2}=-v_{1,2}$. Transformando de nuevo al marco original, esto da

$$w_{1,2} = 2 V - v_{1,2}.$$ Requerir que las velocidades permanezcan iguales ( $w_{1,2}=-v_{1,2}$) Nos da $V=0$. Por lo tanto, en 1D, las velocidades siguen siendo las mismas si y solo si el impulso total se desvanece.

Si tiene una colisión elástica entre los objetos 1 y 2 y donde la 'energía cinética se conserva'... ¿ambos objetos siempre se 'unirán' y tendrán la misma velocidad común?

El momento lineal se conservará, por lo que si los objetos se 'unen'

$$\vec{p}_1+\vec{p}_2=(m_1+m_2)\vec{V}\ $$ dónde $\vec{V}$es la velocidad común final.

La energía cinética inicial es

$$K_i=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}$$ La energía cinética final será $$K_f=\frac{(m_1+m_2)V^2}{2} = \frac{p_1^2+p_2^2+2\vec{p}_1\cdot\vec{p}_2}{2(m_1+m_2)}$$ Podemos demostrar fácilmente que si las partículas tienen momentos en direcciones opuestas o momentos perpendiculares, $K_f<K_i$. El máximo de K_f ocurrirá para momentos paralelos y, por lo tanto, para velocidades paralelas. $$K_{fmax}=\frac{p_1^2+p_2^2+2|p_1||p_2|}{2(m_1+m_2)}=\frac{(|p_1|+|p_2|)^2}{2(m_1+m_2)}.$$

Un breve ejercicio de álgebra mostrará que$K_i\geq K_f$, con la igualdad ocurriendo solo si$v_1=v_2$, en cuyo caso, la partícula nunca choca.

Conclusión: si las partículas chocan y se pegan, la colisión no puede ser elástica.