Tipos de colisiones y velocidad

Para que su ejemplo sea más concreto, supongamos que estamos viendo una colisión 1D donde un objeto de masa$m_1$moviéndose con velocidad$v$choca con un objeto de masa$m_2$inicialmente en reposo (le dejaré el análisis a usted para el caso en que el segundo objeto se esté moviendo inicialmente). Luego, las velocidades de los objetos son, respectivamente,$v_1$y$v_2$.

Dado que la cantidad de movimiento se conserva en cualquiera de nuestras colisiones, siempre se cumplirá lo siguiente:

$$m_1v=m_1v_1+m_2v_2$$

Consideremos cada tipo de colisión:

Colisión elástica

En colisiones elásticas, la energía cinética también se conserva, por lo que tenemos

$$\frac12m_1v^2=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$

Haciendo un poco de álgebra divertida, podemos mostrar que nuestras dos condiciones de conservación conducen al resultado de que la velocidad relativa entre los dos objetos cambia de dirección. En otras palabras:

$$v=v_2-v_1$$

Volviendo a poner esto en nuestra ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, obtenemos:

$$v_2=\frac{2m_1v}{m_1+m_2}$$

Colisión Perfectamente Inelástica

En esta colisión, los objetos se pegan y se mueven con la misma velocidad después de la colisión, por lo que$v_1=v_2$y nuestra ecuación de conservación de la cantidad de movimiento se puede reescribir como

$$m_1v=(m_1+m_2)v_2$$ o, $$v_2=\frac{m_1v}{m_1+m_2}$$

Colisión Inelástica

Para esta colisión final, no hay forma de saber qué sucederá exactamente. Depende de la cantidad de energía que sale del sistema. Sin embargo, podemos determinar los límites de$v_2$.

Nuestra conservación del impulso aún se mantiene, pero ahora tenemos una pérdida de energía:

$$\frac12m_1v^2>\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$

Podemos seguir el mismo álgebra que en el caso elástico teniendo cuidado con la desigualdad para llegar a:

$$v>v_2-v_1$$ lo que lleva a $$v_2<\frac{2m_1v}{m_1+m_2}$$

No podemos obtener un límite inferior mayor que$0$en$v_2$en este caso. Todo lo que podemos decir es que la energía cinética que se pierde será menor que la que se pierde en la colisión perfectamente inelástica.

Esto (así como todo lo discutido anteriormente) se puede ver en una gráfica de ejemplo. Si graficamos el cambio en la energía cinética en función de$v_2$suponiendo que se conserva la cantidad de movimiento obtenemos esto:

(en esta trama usé$m_1 = 3\ \rm{kg}$,$m_2=1\ \rm{kg}$,$v=1\ \rm{m/s}$, y por conservación de la cantidad de movimiento,$v_1=\frac{m_1v-m_2v_2}{m_1}$)

Como puede ver, obtenemos la mayor pérdida de energía cinética para el caso perfectamente inelástico cuando$v_2=\frac{m_1v}{m_1+m_2}$($v_2=0.75\ \rm{m/s}$en este caso). Sin embargo,$v_2$en realidad puede ser menor que este valor y el impulso aún se conserva con pérdida de energía.

Por lo tanto, todo lo que puede decir es que la velocidad del segundo objeto después de una colisión elástica es mayor que la de una colisión inelástica.