Dos partículas de diferente masa. y están conectados por un resorte sin masa de constante elástica y longitud de equilibrio . El sistema descansa sobre una mesa sin fricción y puede oscilar y girar.
Necesito encontrar el Lagrangiano para este sistema. No estoy seguro si lo estoy interpretando correctamente, pero creo que hay 4 grados de libertad en este problema, o . Si uso la opción anterior, obtengo que mi Lagrangiano es
.
¿Tiene esto algún sentido? Parece que la MOE sería un lío en este caso.
Esto es correcto, y deberías usar las coordenadas rectangulares hasta más tarde. Las ecuaciones de movimiento no son un desastre, porque el sistema tiene una ley de conservación del centro de masa, por lo que puede mezclar linealmente las variables:
para el centro de masa y
cuales son las coordenadas relativas. En términos de esta transformación (que es algo que debería saber), el Lagrangiano para el CM se convierte en el de una partícula libre, mientras que el Lagrangiano para la coordenada relativa se convierte en el de una partícula 2d en un resorte de longitud finita.
donde m es la masa reducida. Ahora puedes transformar las coordenadas relativas x,y en forma polar y el La ecuación expresa la conservación del momento angular. Esto se reduce a un problema 1d para r con un potencial.
donde A es una constante para un momento angular constante, una repulsión centrífuga efectiva más el potencial de atracción.
Tu lagrangiano tiene razón, pero es innecesariamente complicado. Para dos masas aisladas, siempre es mejor moverse al centro de masa y coordenadas relativas,
usuario7757