La relación entre el efecto Unruh y el efecto Ehrenfest-Tolman

El efecto Ehrenfest-Tolman es una especie de física de “temperatura = velocidad del tiempo”. La física se basa en el vector Killing$K^a$con$|K|~=~\sqrt{g_{ab}K^aK^b}$. La temperatura es entonces$T|K|~=~const$. Esta física entonces funciona para espacio-tiempos que permiten Matar campos vectoriales.

Para pensar en esto consideramos el agujero negro de Schwarzschild con$K^t\partial_t$ $=~\sqrt{1~-~r_s/r}$, con$r_s~=~2GM/c^2$. Ahora considere el gradiente de la temperatura$\nabla T~=$ $\frac{1}{2}|K|^{-1}$y podemos ver que

$$\frac{\nabla T}{T}~=~\frac{1}{2}\frac{1}{1~-~r_s/r}\frac{r_s}{r^2}~=~g/c^2,$$ dónde $g$es la gravedad. Este es el mismo resultado que el resultado en la página 121 del libro de Wald. Esto da el resultado newtoniano para la gravedad con $r~>>~r$.

El resultado$\frac{\nabla T}{T}~=~g/c^2$es la distancia del horizonte$d~=~g/c^2$. Podemos pensar en este resultado termodinámico como una expresión de la dilatación del tiempo. La fórmula de Shannon-Khinchin$S~=~-k\sum_n\rho_nlog(\rho_n)$define el estado térmico estadístico$\Omega$. Esto se ve fácilmente si$\rho_n~=~1/n$entonces

$$S~=~-k\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}log\frac{1}{n}~=~k~log(N),$$ dónde $N$es el estado del conjunto estadístico $\Omega$. para observables $O~\in~\cal O$definimos un flujo $\phi:{\cal O}~\rightarrow~{\cal O}$de acuerdo a $$\frac{d\phi(O)}{ds}~=~\{S,~O\}~=~\{O,~log(\Omega)\},$$ tal que $\Omega~=~e^{-H/kT}$. La ecuación de evolución ahora se puede escribir de acuerdo con el hamiltoniano $H$con $$\frac{d\phi(O)}{ds}~=~\{O,~log(\Omega)\}~=~\frac{1}{kT}\{O,~H\},$$ lo que nos dice que $\frac{d}{ds}~=~\frac{1}{kT}\frac{d}{dt}$. Esto conecta el tiempo propio, que vemos que también es un tiempo térmico, $s$con un tiempo hamiltoniano $t$.

Entonces, el efecto Unruh-Hawking y los resultados Tolman-Ehrenfest están estrechamente relacionados entre sí. Ambos implican la conexión entre la relatividad general y la temperatura. El resultado de Tolman-Ehrenfest vincula esto con la idea de "velocidad del tiempo".

Creo que podría no haber una forma de derivar el efecto Unruh (¡clásicamente!) Del efecto Eherenfest-Tolman.

El enfoque principal que he intentado es usar la relación Eherenfest-Tolman$T||ξ||=const$y aplicarlo a un uniformemente acelerado (WLOG, accleration$a$en la dirección x) del sistema. dicho sistema puede describirse mediante coordenadas de Rindler (Minkowski acelerado),$\ ds^2=-a^2x^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$

Los campos del vector Killing son$\partial_t, \partial_y, \partial_z,$y$y\partial_z-z\partial_y$, así como otros (generando rotaciones y boosts).

Aquí es donde me quedo atascado, no estoy seguro de cómo calcular$||ξ||=\sqrt{g_{ab}ξ^aξ^b}$. Agradecería mucho alguna ayuda con esa parte.

Sin embargo, mi incompetencia no es la razón por la que creo que no existe tal derivación; hay un problema mucho más crucial. El efecto Unruh da (en unidades no naturales) un factor de$\hbar,$a saber$T=\frac{\hbar a}{2\pi c k_B},$y simplemente no puedo imaginar cómo brotará este factor en un análisis no cuántico de este problema.

Aunque todavía creo que estos dos fenómenos están muy relacionados, creo que no hay una derivación que dé el efecto Unruh directamente del efecto Eherenfest-Tolman.

EDITO: me di cuenta$\hbar$puede ser solo una parte de la const en la derivación, por lo que vuelvo a preguntarme si un efecto es derivable del otro. De hecho, creo que mi enfoque mencionado anteriormente podría ser el enfoque correcto.