¿La óptica ondulatoria anticipó la mecánica cuántica?

Es más exacto decir que Hamilton anticipó algunas de las ideas de las matemáticas y la heurística de la mecánica cuántica, que luego inspirarían a Schrödinger para producir su formulación de la mecánica ondulatoria. La razón por la que pudo anticipar esas ideas es que la dualidad onda-partícula cuántica tenía un predecesor clásico, la analogía óptico-mecánica . De hecho, fue la óptica, no la mecánica, la que inspiró originalmente el formalismo hamiltoniano. Pero no, Hamilton no estaba a punto de descubrir la ecuación de Schrödinger. Existe una diferencia cualitativa entre la ecuación de Hamilton-Jacobi de primer orden y la ecuación de Schrödinger de segundo orden, la conexión solo se recupera en el límite cuasi-clásico. Y es solo para este último que la aproximación de fase estacionaria para integrales de$\exp(i S(x)/\hbar)$se usa La aproximación en sí misma solo fue introducida por Kelvin en 1887, el enfoque de Hamilton era más geométrico.

En una forma simple, la analogía fue descubierta por Huygens alrededor de 1670.(publicado en Traitė de la Lumiere, 1678), quien notó que la propagación de las ondas podía describirse dualmente en términos de frentes de onda y rayos ("características") perpendiculares a ellos. Estos últimos se pueden considerar como trayectorias de partículas, y cantidades masivas de partículas que se extienden a lo largo de las características pueden crear la apariencia de una onda continua. Pero también funciona a la inversa, y Huygens sugirió que la luz bien podría ser una onda, siendo la óptica geométrica de los rayos solo la primera aproximación. En particular, Huygens mostró cómo el principio de tiempo mínimo de Fermat se deriva de la analogía, Johann Bernoulli lo usó para resolver el famoso problema de la braquistocrona en 1696, y en 1818 Fresnel mostró cómo no solo la óptica geométrica sino también la difracción y la interferencia pueden explicarse mediante la óptica ondulatoria.

Pero fue Hamilton quien exploró la analogía en toda su generalidad. Como escribe Guillemin en Geometric Asymptotics :

En 1828 , Hamilton publicó su artículo fundamental sobre óptica geométrica, presentando sus "características" como una herramienta clave en el estudio de los instrumentos ópticos. No fue hasta mucho más tarde que Hamilton se dio cuenta de que su método se aplicaba igualmente bien al estudio de la mecánica. El método de Hamilton fue desarrollado por Jacobi y ha sido una piedra angular de la mecánica teórica desde entonces... Es interesante notar que aunque Hamilton conocía el trabajo de Fresnel, decidió ignorarlo por completo en sus artículos fundamentales sobre óptica geométrica. "

La ecuación eikonal es solo el caso más simple de la ecuación de Hamilton-Jacobi, cuando el hamiltoniano del sistema mecánico solo tiene el término de energía cinética estándar. En general, las ecuaciones familiares de la dinámica de Hamilton se resuelven mediante las características de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. Aunque el método de la fase estacionaria se usa a menudo para derivar asintóticas geométricas en la actualidad, Hamilton no estaba disponible.

Cuando el conflicto entre la óptica ondulatoria y los cuantos de luz recién introducidos, a Schrödinger, un gran admirador de la dinámica hamiltoniana, se le recordó la analogía óptico-mecánica y comenzó a pensar que la mecánica clásica era el límite de una nueva mecánica en la línea de la óptica geométrica. siendo un límite de la óptica ondulatoria. Esto lo llevó a su célebre ecuación. En el límite cuasi-clásico las superficies de igual fase son los "frentes de onda", y las trayectorias de las partículas son las características. Un desarrollo sistemático de este enfoque se conoce como el método WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin).

Lo que Hamilton descubrió es un "formalismo hamiltoniano" matemático. Se aplicó a aquellas partes de la física que se conocían en la época de Hamilton: la mecánica clásica y la óptica. No había en la época de Hamilton la menor razón para sospechar que la materia en pequeña escala no obedece a las leyes de la mecánica clásica.

Que esto sea así, es un descubrimiento de finales del siglo XIX. Sin embargo, resultó que el formalismo hamiltoniano es tan general que también se aplica a la mecánica cuántica. Por lo tanto, muchas ecuaciones escritas por Hamilton (y no solo por Hamilton, sino por otros investigadores de mecánica de finales del siglo XVIII y principios del XIX, como Lagrange) se aplican realmente, si se interpretan correctamente.

Del mismo modo, el Cálculo, una herramienta matemática inventada en el siglo XVII, sirve no solo a la mecánica, sino a toda la física descubierta más tarde. Pero nadie afirma sobre esta base que Newton y Leibniz descubrieron toda la física que fue descubierta más tarde.

EDITAR. Por supuesto, es un milagro que la misma herramienta matemática se aplique a una clase muy amplia de fenómenos en el universo, incluidos aquellos que no se conocían cuando se inventó/descubrió la herramienta, pero así es como se crea nuestro mundo.