La interacción débil viola el conjugado de carga

Las interacciones débiles incluyen solo los neutrinos izquierdos (y los antineutrinos derechos). Significa que todos los términos de interacción de neutrinos en el Lagrangiano también consisten solo en las partículas izquierdas (y las antipartículas derechas), porque$\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Phi_{R, L} = \bar{\Psi}_{R, L}\gamma^{\mu}\Phi_{R, L}$. Significa que los términos actuales cobrados$L_{\int}^{CC} = g \bar{l}_{L} \gamma^{\mu}(\nu_{l})_{L}W_{\mu}$rompe la invariancia C: el neutrino interactúa solo con el leptón, mientras que el antineutrino interactúa solo con el antileptón.

Se puede entender fácilmente a partir de la definición de la operación de conjugación de carga en el espacio de representaciones tipo Dirac. Para la función de espín semientero arbitraria

$$\Psi^{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \Psi_{a}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}} \\ \Phi_{\dot {a}}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}}\end{pmatrix},$$ (aquí el número del vector índice corresponde a la parte entera del valor de espín; Dirac $\frac{1}{2}$spinor tiene cero índices vectoriales) $$\hat{C} \Psi^{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \Phi_{a}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}} \\ \Psi_{\dot {a}}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}}\end{pmatrix}.$$ Como se puede demostrar, $\hat {C} = \gamma_{2}K$(He despreciado la fase), así que $$\frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}\hat{C}\Psi = \left(\frac{1 \pm \gamma_{5}}{2} \right)\gamma_{2}K \Psi = \gamma_{2}K\left(\frac{1 \mp \gamma^{*}_{5}}{2} \right)\Psi^{*} =$$ $$\hat{C}\left( \frac{1 \mp \gamma_{5}}{2} \right)\Psi.$$ Aquí he usado la representación de Dirac de las matrices gamma (o representantes que están conectados con ella por la matriz de ortogonalidad), en la que $\gamma_{5}^{*} = \gamma_{5}$. También he usado la igualdad $[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$que se sostiene en cada representación. La igualdad final significa que si actuamos sobre el espinor C invertido por el operador del proyector de quiralidad, el proyector izquierdo actúa como proyector derecho mientras que el proyector derecho actúa como proyector izquierdo. Esto significa que $\hat{C}$cambia el estado propio del proyector de quiralidad al "opuesto".

Este es el resultado de la partícula de la declaración dada en esta respuesta.

Acerca del operador de conjugación C.

El operador C, en general, intercambia funciones de la representación izquierda del espinor de tipo Dirac a la representación derecha. Debemos construir esta estructura específica, porque como la representación irreducible del grupo de Poincaré para el espín medio entero tiene sus propias peculiaridades (no quiero refinar esta afirmación ya que tomará mucho espacio; en pocas palabras, para representación de giro de medio entero, no podemos usar solo índices de 4 vectores). Este operador combina la conjugación compleja (que es igual a la conjugación de carga para representaciones de espín entero) y la "conjugación" de representación izquierda y derecha.

Como puede verse, este operador también cambia el valor de resumen de cargo del campo tipo dirac. Es decir, si construimos el conservado$U(1)$actual y luego actuamos sobre él mediante el operador de conjugación de carga, cambiaremos el signo de este operador (así que particularmente cambiaremos la carga eléctrica).

Veamos el ejemplo más simple: el espinor de Dirac.$\Psi = \begin{pmatrix} \psi_{a} & \kappa^{\dot {a}}\end{pmatrix}^{T}$. Como irrep del grupo de Lorentz, se puede construir como$\left( \frac{1}{2}, 0\right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2}\right)$(la primera se refiere a la$\psi_{a}$mientras que el segundo se refiere al complejo conjugado$\kappa^{\dot{a}}$). El operador de conjugación de carga (aquí he restaurado la fase habitual$i$) da

$$\hat{C}\Psi = i\gamma_{2}\Psi^{*} = \begin{pmatrix} \kappa_{a} & \psi^{\dot{a}}\end{pmatrix}$$ La corriente de espinor de Dirac es igual a $j^{\mu} = \bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi$, por lo que si actuamos sobre $j^{0}$por el operador C, daremos $$j^{0}_{c} = ((\hat{C}\Psi )^{\dagger} \hat{C}\Psi) = -\Psi^{T}\gamma_{2}\gamma_{2}\Psi^{*} = \Psi^{\dagger}\Psi .$$ Aquí he usado el hecho de que los espinores son grassmanianos, por lo que $\Psi^{T}\Psi^{*} = -\Psi^{\dagger}\Psi$.

Siguiendo la convención de Peskin & Schroeder - regla de transformación de los espinores de Dirac$\psi(x,t)$bajo$\cal{C}$y$\cal{P}$son dados por,

$$\begin{eqnarray} \cal{C}\psi(t,x)\cal{C}^{\dagger} & = & -i(\bar{\psi}\gamma^{0}\gamma^{2})^{\textbf{T}}\\ \cal{C}\bar{\psi}(t,x)\cal{C}^{\dagger} & = & -i(\gamma^{0}\gamma^{2}\psi)^{\textbf{T}}\\ \end{eqnarray}$$ Estudiemos como $V^{\mu}\equiv\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$transforma bajo conjugación de carga $\cal{C}$.

$$\begin{eqnarray} {\cal{C}}V^{\mu}\cal{C}^{\dagger}& = & {\cal{C}}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi\cal{C}^{\dagger}\\ & = & {\cal{C}}\bar{\psi}\cal{C}^{\dagger}{\cal{C}}\gamma^{\mu}\cal{C}^{\dagger}{\cal{C}}\psi\cal{C}^{\dagger}\qquad\boxed{\text{considering}~\cal{C}^{\dagger}=\cal{C}^{-1}}\\ & = & -i(\gamma^{0}\gamma^{2}\psi)^{\text{T}}\gamma^{\mu}(-i)(\bar{\psi}\gamma^{0}\gamma^{2})^{\text{T}} \\ & = & -\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi = -V^{\mu} \end{eqnarray}$$ Así mismo se puede demostrar que $A^{\mu}\equiv\bar{\psi}\gamma^{5}\gamma^{\mu}\psi$, transforma bajo $\cal{C}$operación como ${\cal{C}}A^{\mu}{\cal{C}}^{\dagger}= A^{\mu}$. Consideremos la interacción débil Lagrangiana. $$\begin{equation} {\cal{L}_{\text{weak}}} \approx \frac{\text{G}_{F}}{\sqrt{2}}(V^{\mu}-A^{\mu})(V_{\mu}-A_{\mu}) = \frac{\text{G}_{F}}{\sqrt{2}}(V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2}) \end{equation}$$ Es suficiente estudiar, cómo $V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2}$transformar bajo $\cal{C}$comprobar la invariancia del Lagrangiano de interacción débil bajo conjugación de carga. $$\begin{equation} V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2} \xrightarrow{\cal{C}} V^2+2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2} \neq {\cal{L}_{\text{weak}}} \end{equation}$$ Por lo tanto, el Lagrangiano de interacción débil no es invariante bajo la conjugación de carga.