¿La ecuación del calor viola la causalidad?

Me encontré con la idea de que, además de simplemente escribir ecuaciones diferenciales parciales en forma covariante, deben ser hiperbólicas con todas las velocidades características menores que la velocidad de la luz. Una generalización directa de las ecuaciones para un fluido disipativo al caso relativista supuestamente tiene problemas debido a la presencia de la ecuación del calor:

∂ T ∂ t = k ∇ 2 T .

En la teoría relativista real, esto se generaliza a algo covariante como

tu m ∇ m T = k ( gramo m v − tu m tu v ) ∇ m ∇ v T ,

dónde tu es un vector temporal (esto es solo esquemático, hay otros términos). Pero el punto es que todavía hay un problema con esta teoría porque es una ecuación parabólica.

Me pregunto si hay alguna manera de ver algo claramente patológico como las señales superlumínicas en la ecuación del calor. Esto es un poco confuso para mí ya que la ecuación no es como una onda. Si supongamos que no puede enviar señales más rápido que la luz, ¿cuál sería el problema con las ecuaciones no hiperbólicas?

Por lo que he leído, es patológico. Es por eso que la gente no usa ecuaciones parabólicas para escenarios relativistas, tienden a usar ecuaciones hiperbólicas corregidas, en el caso de la ecuación de calor sería algo así como la ecuación de maxwell cantaneo. Puedo dejar algunos enlaces más tarde si quieres
Gracias a los dos por las referencias. Sí, esta pregunta estaba en el contexto de la teoría de Eckart (y Landau-Lifschitz) discutida en ese artículo.
@octonion, aquí una referencia que estuve estudiando arxiv.org/abs/0902.3663

Respuestas (1)

Lo que sigue ciertamente no es una respuesta completa que aborde todas sus preocupaciones. es una respuesta a la pregunta

¿Hay alguna forma de ver algo claramente patológico como las señales superlumínicas en la ecuación del calor?

Yo diría que sí, lo hay.

La solución general al problema del valor inicial T ( X , 0 ) = T 0 ( X ) para la ecuación del calor en la línea real es

T ( X , t ) = ∫ − ∞ ∞ d X ′ T 0 ( X ′ ) GRAMO ( X − X ′ , t ) .
dónde GRAMO es la función de Green para la ecuación del calor y está explícitamente dada por
GRAMO ( X , t ) = mi − X 2 / ( 4 k t ) π ( 4 k t ) .
Note que si T 0 ( X ) = d ( X ) , es decir, si se proporcionara un impulso unitario de calor localizado en el origen en t = 0 , entonces para todos los tiempos posteriores, la distribución de temperatura sería igual a la función de Green (razón por la cual a menudo se le llama función de impulso-respuesta y/o función de fuente):
T ( X , t ) = mi − X 2 / ( 4 k t ) π ( 4 k t ) , t > 0.
Pero esta es una distribución gaussiana sobre la línea real que es distinta de cero en todas partes para todos t > 0 . En otras palabras, si calientas un punto en la línea real en el tiempo t = 0 , entonces para cualquier t > 0 , no importa cuán pequeña sea, toda la línea tendrá una temperatura distinta de cero, aunque comenzó a temperatura cero en todas partes excepto en el origen.

Este comportamiento permite la señalización superlumínica. Para ver cómo es esto, observe que si tiene una vara larga desde aquí hasta Próxima Centauri hecha de un material que obedece con precisión a la ecuación del calor, y si quiere advertir a su aliado estacionado cerca de Próxima Centauri de un ataque alienígena inminente, usted solo necesita mantener la varilla fría hasta el momento en que escuche la información de un ataque. En este momento, simplemente puede calentar la porción de la varilla a su lado, y ella instantáneamente medirá la porción de la varilla a su lado como más caliente. Entonces puede comenzar inmediatamente a prepararse para defender su puesto.

¿Funciona tu ejemplo? Creo que obtener la precisión necesaria tendría problemas con el principio de incertidumbre.
@Taemyr, este es un experimento mental necesario para demostrar el principio, no una receta para un experimento.
¿Me estoy perdiendo algo, o esta respuesta solo considera la ecuación de calor clásica , no la covariante que quiere OP?
@KyleKanos En la pregunta (v3), el OP escribe "... debido a la presencia de la ecuación de calor :
T t = k ∇ 2 T .
Más tarde, en la pregunta que cito en mi respuesta, el OP usa el término "ecuación de calor" nuevamente sin enfatizar que no es a lo que se refiere explícitamente antes. Además, según su otro idioma, también me pareció que el OP estaba preguntando de manera algo general sobre ecuaciones no hiperbólicas, usando las ecuaciones que escribió como ejemplos. Finalmente, incluí un descargo de responsabilidad específicamente porque sabía que el OP al menos estaba preguntando más que la pregunta que estaba respondiendo.
Vale, solo me aseguro de que no soy yo.
@KyleKanos Quizás estoy totalmente fuera de lugar y mi respuesta es inútil para el OP. La aclaración sería útil.
@joshphysics Esta respuesta es realmente muy útil. La ecuación del calor clásica es un caso particular de la covariante si estamos en Minkowski y tu apunta en la dirección del tiempo. Lo que me confundió fue que en t = 0 , ∇ 2 T = 0 lejos del impulso tan T ˙ = 0 y parecía que no veríamos una señal inmediatamente. Pero, por supuesto, esta función explícita de Green funciona y T ˙ → 0 como t → 0 .
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