¿La distancia recorrida por un objeto desacelerado solo por la resistencia?

No es una pregunta tonta, y en realidad es imposible responderla analíticamente (para el caso de arrastre cuadrático con velocidad horizontal y aceleración vertical).

Aquí hay algunas cosas básicas para ayudarlo a pensar en esto:

• La fuerza de arrastre apunta en la dirección opuesta a la velocidad.
• debido a que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad al cuadrado, la velocidad horizontal aumenta el arrastre vertical (!)
• La ecuación puede ser desalentadora, hasta que te das cuenta de que básicamente dice "la fuerza de arrastre es la fuerza necesaria para mover todo el aire que atraviesa mi proyectil".

la ecuacion es

Si tiene un área (de frente) de$A$, entonces cada segundo te mueves a través de una columna de aire de volumen$V = Av$dónde$v$es la velocidad. La masa de esta columna es$m = \rho V = \rho A v$. Si mueves todo ese aire a la velocidad de tu proyectil, adquiere un impulso de$p = mv = \rho A v^2$. Esto comienza a parecerse mucho a su ecuación de arrastre. Solo necesitamos el factor$\frac12 C_D$para dar cuenta de la forma en que el aire realmente se mueve (no es simplemente "mover toda la columna de aire a la velocidad del proyectil) y ahí está.

Para calcular la trayectoria necesitará usar integración numérica. El arrastre inicial se calcula a partir de la velocidad inicial. Esto le permite calcular la aceleración instantánea (no olvide la gravedad); deje que esta aceleración actúe por un tiempo muy corto y calcule las nuevas (componentes horizontal y vertical de) la velocidad. A partir de la velocidad calcular el desplazamiento. Repita para el siguiente paso de tiempo.

Actualizar

Decidí escribir un script de Python simple que demuestra el enfoque. Cuando ejecuta esto con A = 0 (efectivamente sin arrastre), puede comparar el resultado con la solución analítica; esto muestra que la integración funciona correctamente. Cuando agrega arrastre "realista", puede calcular la trayectoria para cualquier otra configuración. Como de costumbre, mi código viene sin garantía ("no necesariamente un ejemplo de buena codificación, no completamente probado, sin verificación de errores, etc..."). Disfrutar.

# example of numerical integration of projectile motion in 2D
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sin, cos, atan2, pi, sqrt

# constants
rho = 1.22 # density of medium
g = 9.81   # acceleration of gravity

# projectile properties
A = 0.05  # cross sectional area
Cd = 0.5  # drag factor
m = 0.1   # mass

# initial velocity & angle (radians)
v = 10.      # m/s
theta = pi/4

# initial position, velocity, time
x = 0.
y = 5.    # height above target surface
vx = v * cos(theta)
vy = v * sin(theta)
vx_init = vx
t = 0.

# storage for the result
X = [x]
Y = [y]

# step size
dt = 0.01

def drag(v, theta):
    F =0.5*rho*v*v*A*Cd
    return (F*cos(theta), F*sin(theta))

while ((y>0) | (vy>0)):
    # instantaneous force:
    Fx, Fy = drag(v, theta)
    # acceleration:
    ax = -Fx/m
    ay = -Fy/m - g
    # position update:
    x = x + vx*dt + 0.5*ax*dt*dt
    y = y + vy*dt + 0.5*ay*dt*dt
    # update velocity components:
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    # new angle and velocity:
    v = sqrt(vx*vx+vy*vy)
    theta = atan2(vy,vx)
    # store result for plotting:
    X.append(x)
    Y.append(y)
    t = t + dt

# adjust last point to Y=0 - we may have "overshot":
ft = Y[-2]/(Y[-2]-Y[-1]) # fractional time to last point
X[-1] = X[-2] + (X[-1]-X[-2])*ft
Y[-1] = 0.
t = t - (1-ft)*dt

print('Total flight time: %.3f sec\n'%t)
print('Total distance: %.2f m'%X[-1])
print('Initial horizontal velocity: %.2f m/s'%vx_init)
print('Final horizontal velocity: %.2f m/s'%vx)
plt.figure()
plt.plot(X,Y)
plt.title('projectile motion')
plt.xlabel('X position')
plt.ylabel('Y position')
plt.show()

Y un ejemplo de la salida de lo anterior:

Eliminé mi respuesta original como resultado de un comentario de @Floris en el sentido de que para el arrastre, que depende del cuadrado de la velocidad, los movimientos vertical y horizontal no son independientes entre sí.

De acuerdo con este artículo, las ecuaciones de movimiento que deben resolverse en este caso son:

$a_{\rm x}=-kv_{\rm x}v$y$a_{\rm y}=g-kv_{\rm y}v$dónde$v^2= v_{\rm x}^2+ v_{\rm y}^2$que sólo se puede hacer numéricamente.

En presencia de arrastre, las ecuaciones de Newton incluyen un término proporcional a v.$dv/dt = g/m - kv$cuyas soluciones son solución general de la ecuación homogénea (con g=0) más una solución particular (obtenida yendo al tiempo infinito, cuando dv/dt= 0). Vamos a hacerlo. Solucion general a$dv/dt = -kv$es$v/v_\infty= e^{-kt}$.

Solución particular:$dv/dt = 0$o$v_{part} = gm/k$Ahora$v=gm/ke^{-kt} + gm/k$. Controlar:$dv/dt = gm/k(-ke^{-kt}) = -gme^{-kt}= -kv+ gm$como se esperaba. ¿Cuál es la velocidad en t=0?$v_0 = gm/k + gm/k= 2gm/k$