La distancia más corta desde el eje z hasta las líneas dadas

Question

Archis Welankar

La distancia más corta entre las líneas. $x+y+2z-3=2x+3y+4z-4=0$ y el eje z es?.

Intentar

$\text {Attempt}$ . Primero tomé el producto cruzado de los vectores de dos líneas, es decir

i + j + 2 k, 2 i + 3 j + 4 k

$i+j+2k,2i+3j+4k$ para obtener el vector perpendicular como

- 2 i + k

$-2i+k$ . Sé que la distancia entre dos líneas oblicuas es

| \frac{(a_{2} - a_{1}) . (b_{1} \times b_{2})}{(b_{1} \times b_{2})} |

$|\frac {(a_2-a_1). (b_1×b_2)}{(b_1×b_2)}|$ . Dónde

a_{2}, a_{1}

$a_2,a_1$ son vectores de posición de rectas y

b_{1}, b_{2}

$b_1,b_2$ son los vectores

- 2 i + k, k (z - a x i s)

$-2i+k,k (z-axis)$ .Pero ¿cómo encontrar los vectores de posición?.Gracias.

miguel rozenberg · Answer 1

Dejar $z=t$ .

Por eso, $x+y=3-2t$ y $2x+3y=4-4t$ , lo que da $x=5-2t$ y $y=-2$ .

De este modo, $(5-2t,-2,t)$ es nuestra línea.

Ahora deja $(5-2t,-2,t)\subset\pi$ y $(0,0,k)||\pi$ .

Dejar $\vec{n}(a,b,c)$ es normal de $\pi$ .

De este modo, $(a,b,c)(0,0,1)=0$ y $(a,b,c)(-2,0,1)=0$ o $c=0$ y $-2a+c=0$ ,

que da eso $\vec{n}(0,1,0)$ y la ecuacion de $\pi$ es $y=-2$ .

Id est, la distancia es $2$ .

No entendí la última línea, y la ecuación de pi it y=-2... ¿cómo relacionaste y con la distancia?
@Archis Welankar La distancia entre $z$ -eje y el plano $y=-2$ igual a $2$ . Es obvio, pero podemos usar: distancia $=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , dónde $ax+by+cz+d=0$ es una ecuación de la llanura y $(x_1,y_1,z_1)$ es un punto En nuestro caso un punto es $(0,0,0)$ y la llanura es $0x+y+0z+2=0$ .