La dilatación del tiempo y la velocidad de la luz en la paradoja de los gemelos

Supongamos que observamos la paradoja de los gemelos donde el gemelo que viaja a gran velocidad en relación con un observador en la Tierra tiene un reloj que cuenta el tiempo enviando fotones de luz a través de una distancia dentro de la nave espacial (perpendicular a la dirección del movimiento) a un detector que cuenta off 'tiempo' como el intervalo entre las detecciones de fotones. Si la velocidad de la luz es constante en ambos marcos, y la distancia que viaja el fotón es igual en ambos marcos (sin contracción de la longitud en la dirección perpendicular), ¿no dirán ambos observadores que ha pasado la misma cantidad de tiempo en ambos marcos a la vez? tiempo posterior (supongamos que el observador en la tierra usa un reloj idéntico)? ¿Una diferencia en los intervalos de tiempo observados no implicaría diferencias en la velocidad de la luz?