Investigando la linealidad entre cuadrados y sus raíces

Los antiguos mesopotámicos sabían que las raíces cuadradas de números que están cerca de los cuadrados perfectos se pueden aproximar usando la fórmula

si piensas en$a$como fijo y$b$como variable, esto explica la relación aproximadamente lineal que ha encontrado. Como observa, se vuelve más preciso cuando se$a$es grande en relación con$b$(Esto corresponde en el diagrama de arriba a la "esquina faltante" del cuadrado que se vuelve cada vez más pequeña en relación con el tamaño de la figura completa).

En tu ejemplo, tenemos$\sqrt{128} = \sqrt{11^2 + 7} \approx 11 + \frac{7}{22}$.

Tenga en cuenta, por cierto, que$b$puede ser negativo en la fórmula anterior. Por ejemplo, se puede aproximar$\sqrt{220} = \sqrt{15^2 - 5} \approx 15 - \frac{5}{30} = 14 \frac{5}{6}$. En cualquier caso ($b$positivo o negativo), la aproximación produce una sobreestimación.

Quizás le interese saber que las raíces cúbicas se pueden aproximar usando una fórmula similar, a saber:

Editado para agregar: como otros han notado, parece que está usando una fórmula de aproximación ligeramente diferente a la que he dado anteriormente, es decir, está usando$\sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a+1}$. La fórmula que di corresponde a una línea trazada tangente a la gráfica de$y = \sqrt{x}$; dado que ese gráfico es cóncavo hacia abajo, la línea tangente da una sobreestimación. Su fórmula corresponde a una línea secante dibujada entre dos puntos en el gráfico; dado que el gráfico es cóncavo hacia abajo, su fórmula da una subestimación . (Supongo que si quieres ser realmente elegante, podrías calcular ambos$\frac{b}{2a}$y$\frac{b}{2a+1}$y calcule su promedio... o use$\frac{b}{2a+0.5} = \frac{2b}{4a+1}$.)

Su aritmética ciertamente se ve bien. Si estoy leyendo lo que estás haciendo correctamente, querrás decir que 128 es 7/23 del camino de 121 a 144, por lo que$\sqrt{128}$es aproximadamente 7/23 del camino de 11 a 12. Entonces, esencialmente lo que estás haciendo es dibujar la línea recta entre los puntos (121,11) y (144,12) en el gráfico de$y = \sqrt{x}$, y reemplazando 128 en la fórmula para esa línea. Estás usando esa línea recta como una aproximación para la gráfica de$y = \sqrt{x}$. Sí, esa aproximación será bastante buena para números grandes, pero es mejor cerca$a^2$y$(a+1)^2$, y menos bueno en el medio.

Podrías hacer una aproximación similar (con la aritmética igual de fácil) usando la recta tangente que pasa por$(a^2,a)$, que tiene pendiente$1/2a$. (Tu recta tiene pendiente$1/2a+1$.) La aproximación de la línea tangente estará mejor cerca de$a^2$, pero empeora a medida que te acercas a$(a+1)^2$.

Tal relación se mantiene solo para grandes números. De hecho,$\lim_{a\to\infty}F=1$, por el teorema del apretón, entonces$U=L$como$a\to\infty$. Es correcto. Tu argumento es muy simple, no sé cómo simplificarlo más, excepto que no tienes que definir$D,U$o$L$. solo define$F$directamente, y luego ya está.

Sí, la relación se vuelve "más lineal" a medida que los cuadrados se hacen más grandes. Esto es porque$x^2$es diferenciable, lo que significa que los cambios en los valores cerca de un punto$x_0$es lineal , cuya tasa de cambio lineal dada por$2x_0$, la pendiente de la función. Como$x_0 \rightarrow \infty$,$(x_0+1 )^2 -x_0^2=2x_0+1 \rightarrow$, el 1 se vuelve lo suficientemente pequeño como para decir que el cambio "es"$2x_0$, Porque para$x_0$lo suficientemente grande,$x_0 +1$está muy cerca (en proporción, es decir,$\frac{x_0 +1}{ x_0} \rightarrow 1$). Esta es la versión a gran escala del hecho de que

es lineal cuando$f$es diferenciable. Esto es equivalente a decir que$x_2$es diferenciable con pendiente$2x$. Y este resultado se cumple para todas las funciones diferenciables cuando el cambio$\frac{x+h}{x}$en los valores del argumento tiende a 1.

Lo que estás haciendo es más o menos un paso del método de la secante para encontrar$\sqrt{x}$dadas las plazas a horcajadas$x$