¿Invarianza de escala en QFT?

Sobre la invariancia de escala en "más allá del modelo estándar".

En la base del análisis se encuentra el principio de invariancia de escala. Entonces, ¿qué se dice? ¿Qué pasaría si hubiera otro sector de la teoría que interactúa tan débilmente con el modelo estándar que aún no se ha notado, y qué pasaría si fuera exactamente invariante en escala?

Luego mencionó: "Una partícula libre sin masa es un ejemplo simple de cosas invariantes de escala porque la masa cero no se ve afectada por el cambio de escala. Pero los teóricos del campo cuántico se han dado cuenta de que hay posibilidades más interesantes, teorías en las que hay campos que se multiplican por potencias fraccionarias del parámetro de cambio de escala. Está claro qué es la invariancia de escala en la teoría cuántica de campos. Los campos pueden escalar con dimensiones fraccionarias " .

Mi pregunta ahora es: ¿Qué quiere decir con esa última oración en negrita? ¿ Qué es la invariancia de escala en la teoría cuántica de campos? Ahora puedo decir en QFT cuando el campo electromagnético está cuantificado, allí el fotón tiene masa cero y, por lo tanto, es invariable en escala. Pero lo que se está señalando es algo más "más interesante", como se dijo, ¿qué es eso? Y finalmente, ¿qué quiere decir con "los campos pueden escalar con dimensiones fraccionarias "?

Si duplicas el tamaño de un cuadrado, su área aumenta por un factor de cuatro. Si duplicas el tamaño de un cubo, su volumen aumenta por un factor de ocho. Estos son ejemplos de cantidades que escalan con dimensiones enteras 2 y 3. Sorprendentemente, hay otros fenómenos que escalan con dimensiones no enteras, especialmente cuando se trata de objetos autosimilares y fractales. Este fenómeno también se puede encontrar cerca de las transiciones de fase termodinámicas que tienen estrechos vínculos matemáticos con la teoría cuántica de campos. Tal vez una persona inclinada a la teoría pueda dar un ejemplo de QFT fácil de entender.
Proporcione la referencia adecuada (es decir, autor, página, etc.) de las citas.

Respuestas (1)

Lo que se entiende por dimensión de escala fraccionaria es exactamente lo que dice: Dada una dilatación X ↦ λ X , el campo/operador O ( X ) se comporta como

O ( λ X ) = λ h O ( X )
con h ∈ R un número posiblemente fraccionario o incluso irracional.

El principal ejemplo de teorías cuánticas de campos en las que aparece una dimensión de escala fraccionaria es para las teorías de campos conformes , que siempre son invariantes de escala porque la escala es solo una de las transformaciones conformes. Es un poco inusual que una teoría interesante sea escalable y no conformemente invariante, en realidad. Lo que el autor quiere decir con "escalar por dimensiones fraccionarias" es simplemente que las teorías cuánticas no necesitan tener números enteros. h . He aquí un ejemplo "sencillo":

Considere una teoría 2D de un fermión de Majorana ψ en el cilindro Σ = S 1 × R . la acción es

S [ ψ ] = ∫ Σ Ψ ¯ γ m ∂ m Ψ
con Ψ = ( ψ ψ ¯ ) T . Existe una aplicación conforme al plano complejo tal que
S [ ψ ] = ∫ C ψ ∂ ¯ ψ + ψ ¯ ∂ ψ ¯
donde la medida de integración es en ambos casos ya elegida invariante bajo transformaciones conformes (y otras). Esta teoría es invariante de escala iff bajo z ↦ λ z , z ¯ ↦ λ ¯ z ¯ 1 los campos se comportan como
ψ ( λ z , λ ¯ z ¯ ) = λ 1 / 2 ψ ( z , z ¯ )  y  ψ ¯ ( λ z , λ ¯ z ¯ ) = λ ¯ 1 / 2 ψ ( z , z ¯ )
dónde 1 2 es claramente una "dimensión de escala" fraccionaria. En el análisis cuántico completo, sin embargo, resulta que hay un tercer estado independiente (que, según la correspondencia de campo de estado de las CFT, significa que hay un tercer campo independiente ) que tiene una dimensión de escala 1 dieciséis . Esto se debe esencialmente a la posibilidad de elegir condiciones de contorno antiperiódicas para los campos de espinor.

1 Es una convención molesta escribir λ ¯ para el factor de la segunda dilatación aunque no es el complejo conjugado de λ , Tal como h ¯ no es el complejo conjugado de h en el siguiente

Gracias por tu buena respuesta @ACuriousMind. Sin embargo, tengo una consulta, en la primera ecuación. O ( λ X ) = λ h O ( X ) como se puede saber que h debería representar aquí (por ejemplo h = 1 / 2 en tu ejemplo). ¿Cómo puede uno saber eso?
Cálculo de exponentes como h es muy duro en general. En QFT conforme bidimensional se puede ver, por ejemplo, el artículo original de Friedan, Qiu y shenker journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.52.1575
@Beyond-formulas: en general, calcular la dimensión de escala de un operador arbitrario es bastante difícil. En mi ejemplo, se fija de manera única al exigir la invariancia de escala de la acción, y para los llamados modelos mínimos de 2D CFT (que este ejemplo es el más simple), una lista finita de dimensiones de escala permitidas se fija completamente fijando un carga central para el álgebra de simetría, pero la "fijación" tampoco es trivial, vea mi respuesta aquí .
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