¿Intervalo de espacio-tiempo galileano?

Quería agregar una respuesta porque todavía estaba algo confundido después de leer las respuestas aquí.

El punto del intervalo de espacio-tiempo es que se conserva bajo la transformación de Lorentz.

Entonces, el criterio natural para un intervalo de espacio-tiempo galileano es que también sea una 'medida de distancia' en algún sentido (con esto quiero decir, como un producto interno, es decir, una forma bilineal), y también ser preservado bajo la transformación galileana.

Pero, no es cierto que, bajo la transformación de Galileo, la cantidad

$$ds^2 = dr^2 + dt^2$$

se conserva. De hecho, si tomamos la transformación de Galileo

$$\begin{pmatrix}1 & -v \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x' \\ t'\end{pmatrix}$$

y simplemente enchufar$x = 0$y$t = 1$encontramos$x' = -v$y$t' = 1$.

pero por no$0$valores de$v$,

$$x^2 + t^2 = 1$$ mientras $$x'^2 + t'^2 = v^2 + 1$$

y claramente$v^2 + 1 \neq 1$cuando$v \neq 0$.

Pero entonces surge la pregunta: ¿existe alguna 'medida de distancia' (nuevamente, formalmente, me refiero a una forma bilineal) que se conserve bajo la transformación de Galileo? Y la respuesta es no.

La razón es que, para que una matriz conserve la distancia, para cualquier forma bilineal, debe ser una combinación de rotaciones y reflexiones (ya que las isometrías lineales conservan los productos internos y, por lo tanto, deben conservar el coseno del ángulo entre la vectores de base unitaria), pero la matriz de transformación de Galileo no puede ser una rotación si$v \neq 0$ya que arregla$\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$para todos los valores de$v$. Y claramente no es un reflejo.

Entonces, como dice la respuesta de safesphere , debe haber dos métricas diferentes, ambas se conservan por separado bajo la transformación de Galileo, pero no 'juntas'.

Esto parece contradictorio al principio por el argumento de dmckee . Es decir$dt^2$se conserva bajo la transformación galileana ya que$t$es fijo, pero también$dr^2$se 'conserva', por lo que se podría pensar$dt^2 + dr^2$se conserva, pero el problema con este argumento es que$dr^2$se conserva sólo en el caso en que$dt^2$es 0. Por ejemplo, en el contraejemplo que mostramos arriba, que la 'longitud' de$\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$no se conserva bajo la transformación,$dt^2$es 1 en este caso, ya que lo estamos comparando con$\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$.

Por el contrario, la "longitud" de$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$, se conserva bajo la transformación, pero en este caso$dt^2 = 0$.

Si piensas en esto físicamente por un tiempo, comienza a tener sentido. Si avanza en relación con, digamos, una vara de medir. Para usted, la vara de medir parecerá estar moviéndose. Imagina dos destellos de luz, uno en el primer extremo de la vara de medir y el otro en el extremo opuesto. Sin embargo, cada destello ocurre cuando lo pasan a usted mientras se mueve más allá de la vara de medir. En el marco de referencia de la vara de medir, la distancia entre los dos eventos es la longitud de la vara de medir, ya que ocurren en cualquier extremo de la vara. Pero en tu marco de referencia, la distancia entre los dos eventos es 0, ya que ambos ocurren exactamente en tu posición, por lo que en general$dr^2$no se conserva a menos que los dos destellos de luz sean simultáneos.

El espacio-tiempo galileano es una tupla $(\mathbb{R}^4,t_{ab},h^{ab},\nabla)$dónde$t_{ab}$(métrica temporal) y$h^{ab}$(métrica espacial) son campos tensoriales y$\nabla$es el operador derivado de coordenadas que especifica las trayectorias geodésicas.

Una sola métrica no sirve, porque la velocidad de la luz es infinita. Si consideras:

$$\text{d}\tau^2=\text{d}t^2\pm\left(\frac{\text{d}\mathbf{r}}{c}\right)^2$$

la parte espacial de la derecha desaparece para$c\rightarrow\infty$. Por lo tanto, el tiempo y el espacio deben tratarse por separado con la métrica temporal:

$$t_{ab}=(\text{d}_a t)(\text{d}_b t)$$

y la métrica espacial:

$$h^{ab}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^b+ \left(\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^b+ \left(\dfrac{\partial}{\partial z}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial z}\right)^b$$

que se traducen a

$$t'=t$$ $$\text{d}\mathbf{r}'^2=\text{d}\mathbf{r}^2$$

Mientras que el espacio de 4 coordenadas galileanas no es un espacio euclidiano, el espacio de velocidades galileanas es un espacio euclidiano. Diferenciando la transformación de Galileo (por simplicidad en dos dimensiones):

$$t'=t$$ $$x'=x-vt$$

obtenemos$\text{d}t'=\text{d}t$y por lo tanto

$$\dfrac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}-v$$

Si$v_R=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$es la velocidad de un cuerpo observada desde el marco$R$y$v_{R'}=\dfrac{\text{d}x'}{\text{d}t'}$es la velocidad del cuerpo observada desde el marco$R'$, entonces el resultado revela la simetría euclidiana

$$v_R=v_{R'}+v_{R'R}$$

Transformación galileana

Entonces, lo que pasa con el espacio-tiempo galileano es que el componente de tiempo es el mismo para todos, por lo que escribir

$$(\mathrm{d}s)^2 = (\mathrm{d}t)^2 + (\mathrm{d}\mathbf{r})^2 \;,$$ y luego $(\mathrm{d}s')^2 = (\mathrm{d}s)^2$no está mal, pero es menos informativo que escribir $$\begin{align} \mathrm{d}t' &= \mathrm{d}t \\ (\mathrm{d}\mathbf{r}')^2 &= (\mathrm{d}\mathbf{r})^2 \;. \end{align}$$