Intersección de paredes de dominio

Estaba leyendo este artículo ( Sobre formas y procesos de dominio en teorías supersimétricas ). En el párrafo sobre la intersección de las paredes del dominio (párrafo$4$, página$7$) los autores dicen:

En una teoría de campo único se sabe que una intersección de paredes de dominio es inestable

Ellos lo explican de la siguiente manera:

De hecho, la configuración que se muestra en la Fig. 2a tiene modos de traslación cero, cuya forma viene dada por el gradiente del campo. Como hay direcciones en el plano, donde el campo tiende a los mismos valores en ambos infinitos, la componente del gradiente en esa dirección necesariamente es cero. Por lo tanto, el modo cero no puede ser el más bajo del espectro y existe un modo negativo que conduce a una separación de las paredes.

Entonces, tengo la teoría de un campo escalar en$2+1$con potencial de sombrero mexicano:$V=\frac{\lambda}{4}\left( \phi^{2}-v^{2}\right)^{2}$.

Considero la configuración (intersección de paredes de dominio) con condiciones de contorno:

$$\phi_{d}(+\infty, +\infty)=-v$$ $$\phi_{d}(+\infty, -\infty)=v$$ $$\phi_{d}(-\infty, +\infty)=v$$ $$\phi_{d}(-\infty, -\infty)=-v$$ Aquí $\phi_{d}$satisface la ecuación estacionaria de movimiento (recuerde que $\dot{\phi}=0$):

$$\Delta \phi_{d}-\frac{\partial V}{\partial \phi}(\phi_{d})=0.$$

Considero la pequeña excitación sobre$\phi_d$:$\tilde{\phi}=\phi_{d}+\phi$. Después de linealizar, obtengo la siguiente ecuación ($\phi=e^{i\omega t}f_{\omega}(x_1,x_2)$):

$$\left[-\Delta + \frac{\partial^{2}V}{\partial \phi^{2}}(\phi_{d})\right]f=\omega^{2}f \tag{1}$$ .

He encontrado modos cero : su derivada direccional :$f_{0}(x_{1},x_{2})=(\nabla\phi, \mathbf{n})$. Satisface la ecuación$(1)$con$\omega=0$.

Ahora puedo considerar las direcciones a lo largo de "diagonales", en sus extremos el campo toma el mismo valor$v$o$-v$respectivamente (ver figura 2 en la página 10 del expediente). Así que en estas diagonales hay un punto donde$f_{0}=0$, como dicen los autores.

Pero no puedo entender la última oración de su explicación: ¿Cómo la existencia de tal punto (donde$f_{0}=0$) implica que también tenemos modos negativos? ¿Puedes explicarme esto? Gracias de antemano.

PD. Aceptaré otros enfoques para mostrar la existencia de modos negativos (y por lo tanto la inestabilidad de tal configuración) también.