Para una ruptura de simetría continua, ¿por qué es imposible una superposición de todos los vacíos?

Entiendo que para una ruptura de simetría discreta donde la onda funcional para su campo tiene dos vacíos, digamos | + ⟩ y | − ⟩ , la razón por la que el verdadero estado fundamental no puede ser una superposición de estos dos es porque están separados por una barrera de potencial y, suponiendo que el campo se extiende sobre un volumen infinito, la barrera de energía total es infinita. Así que hacer un túnel es imposible.

Pero digamos que tienes una simetría continua y un potencial de sombrero mexicano. Entonces tienes infinitos vacíos, denotados por | θ ⟩ dónde 0 ≤ θ < 2 π . Si elijo dos de estos estados, digamos | 0 ⟩ y | ε ⟩ dónde ε es infinitesimal, la barrera de potencial entre ellos es cero: los dos estados tienen la misma energía y están uno al lado del otro, por lo que se debe permitir la tunelización. Y luego, una vez que haya hecho un túnel desde | 0 ⟩ a | ε ⟩ , puede hacer un túnel a | 2 ε ⟩ entonces | 3 ε ⟩ y así sucesivamente hasta llegar a | 0 ⟩ . Entonces tendrá una superposición de todos esos estados, y la superposición respetaría la simetría.

Excepto que eso no sucede. ¿Dónde está la falla en el razonamiento?

Los vacíos están disjuntos. Se necesita energía infinita para hacer un túnel de un vacío al siguiente para un sistema infinito. Los modos Goldstone no te llevarán de un vacío a otro.
Física relacionada.stackexchange.com/q/243291
@Bruce La respuesta a esa pregunta no resuelve completamente mi confusión. Peter dice que cualquier elemento de matriz entre dos vacíos se desvanece, y sé que debe ser así, pero no sé por qué . Para simetrías discretas, existe la noción intuitiva de que tienes una barrera de potencial multiplicada por un volumen infinito, pero no sé cómo se aplicaría la misma idea para la simetría continua, ya que un vacío puede estar justo al lado del otro, sin barrera.

Respuestas (1)

Es cierto que rotar el valor del campo en un solo punto en una cantidad infinitesimal solo cuesta una energía infinitesimalmente pequeña. ϵ . Pero para llevar el campo a un nuevo estado fundamental, debe rotar el valor del campo en cada punto. Entonces el costo total de energía es mi = ϵ V , donde el costo de la energía local ϵ es infinitesimal pero el volumen total del espacio-tiempo V es infinito. Si mi termina siendo infinitesimal, finito o infinito depende del orden de los límites - es ϵ "menor que V es infinito?" Su simple argumento intuitivo no es lo suficientemente preciso para responder a esa pregunta - necesita hacer un cálculo. Y si lo hace, resulta que el costo total de energía mi hacer un túnel entre diferentes vacíos es infinito, pero obtienes excitaciones del modo Goldstone que localmente (aunque no globalmente) te llevan a un estado fundamental diferente, y estos modos Goldstone pueden tener una energía arbitrariamente baja (aunque estrictamente hablando, no energía cero , porque un exactamente el modo Goldstone de energía cero no es una excitación en absoluto, y simplemente lo deja en el estado fundamental original).

"pero obtienes excitaciones del modo Goldstone que localmente (aunque no globalmente) te llevan a un estado fundamental diferente". Lo entiendo intuitivamente. Pero, ¿qué significa matemáticamente? Los diferentes vacíos son disjuntos, pero aún así los modos Goldstone los conectan localmente de alguna manera. ¿A qué espacio de Hilbert pertenece un modo de Goldstone? @tparker
Para una ruptura de simetría continua, ¿por qué es imposible una superposición de todos los vacíos?
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