¿Interpretación física de la relación entre la conductividad de Hall y la curvatura de Berry?

La fórmula se deriva de la fórmula de conductividad de Kubo (basada en la teoría de la respuesta lineal), que se analiza en esta pregunta: Fórmula de Kubo para el efecto Hall cuántico y en las referencias que contiene. A partir de la fórmula de Kubo (conjunto$e=\hbar=1$)

$$\tag{1}\sigma_{xy}=i\sum_{E_m<0<E_n}\frac{\langle m|v_x|n\rangle\langle n|v_y|m\rangle-\langle m|v_y|n\rangle\langle n|v_x|m\rangle}{(E_m-E_n)^2},$$ dónde $|m\rangle$es el estado propio de la energía propia de una sola partícula $E_m$, es decir $$\tag{2} H|m\rangle = E_m|m\rangle.$$ Tomemos la derivada del momento $\partial_\boldsymbol{k}$a ambos lados de la Ec. (2), tenemos $$\tag{3}(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + H\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)|m\rangle + E_m \partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Luego se superpone con $\langle n|$desde la izquierda, Ec. (3) se convierte $$\tag{4}\langle n|(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + E_n\langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)\langle n|m\rangle + E_m \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Aquí hemos usado $\langle n|H = E_n\langle n|$. Si $|m\rangle$y $|n\rangle$son diferentes estados propios (por $E_m\neq E_n$en la ecuación (1)), su superposición debería desaparecer, es decir $\langle n|m\rangle=0$. También tenga en cuenta que $\partial_{\boldsymbol{k}} H$no es más que el operador de velocidad $\boldsymbol{v}=\partial_{\boldsymbol{k}} H$por definición. Así que la ecuación. (4) se puede reducir a $$\tag{5} \langle n|\boldsymbol{v}|m\rangle = (E_m - E_n) \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Sustituya la ecuación. (5) a la ecuación. (1) (restaurar el $x$, $y$subíndice), tenemos $$\tag{6} \sigma_{xy}=-i\sum_{E_m<0<E_n}\big(\langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big).$$

Por otro lado, la conexión de Berry se define como$\boldsymbol{A}=i\langle m|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle$, y la curvatura de Berry es$F_{xy}=(\partial_{\boldsymbol{k}}\times\boldsymbol{A})_z=\partial_{k_x}A_{y}-\partial_{k_y}A_{x}$. Dado que$(\partial_\boldsymbol{k}\langle m|)|n\rangle = - \langle m|\partial_\boldsymbol{k}|n\rangle$(integración por partes), podemos ver

$$\tag{7} F_{xy}= -i \sum_n\big( \langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big) +i \langle m|\partial_{k_x}\partial_{k_y}-\partial_{k_y}\partial_{k_x}|m\rangle.$$ El último término desaparecerá cuando las derivadas parciales se conmuten entre sí. Entonces, comparando con la Ec. (6), terminamos con $$\tag{8} \sigma_{xy}=\sum_{E_m<0}F_{xy}\sim\int_\text{BZ} d^2k F_{xy}.$$ Esto significa que la conductancia de Hall es simplemente la suma de los números de Chern , es decir, el flujo total de Berry a través de la zona de Brillouin (BZ), para todas las bandas ocupadas. Por supuesto, somos libres de volver a parametrizar el espacio de momento con otro par de variables y el flujo total de Berry a través de la BZ no cambiará (ya que es independiente de las coordenadas).

Entonces, ¿cuál es el significado físico de$F_{xy}$?$F_{xy}$es un campo magnético efectivo en el espacio de cantidad de movimiento (perpendicular al$xy$-plano a lo largo del$z$-dirección). Sabemos que para el campo magnético$\boldsymbol{B}$en el espacio real , una partícula cargada que se mueve en él experimentará la fuerza de Lorentz , de modo que la ecuación de movimiento es$\dot{\boldsymbol{k}}=\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol{B}$. Ahora cambiando al espacio de impulso, solo necesitamos intercambiar el impulso$\boldsymbol{k}$y la coordenada$\boldsymbol{r}$y reemplazar$\boldsymbol{B}$por$\boldsymbol{F}$(tenga en cuenta que el símbolo$\boldsymbol{F}$aquí denota la curvatura de Berry, no la fuerza), lo que conduce a

$$\tag{9} \dot{\boldsymbol{r}}=\dot{\boldsymbol{k}}\times \boldsymbol{F}$$ Entonces que es $\dot{\boldsymbol{r}}$? Es la velocidad del electrón, que es proporcional a la corriente eléctrica . $\boldsymbol{j}$. Y lo que es $\dot{\boldsymbol{k}}$? Es la fuerza que actúa sobre el electrón (porque la fuerza es la velocidad a la que cambia el impulso con el tiempo), que es proporcional a la intensidad del campo eléctrico . $\boldsymbol{E}$, por lo que la ecuación. (9) implica $$\tag{10} \boldsymbol{j} \sim \boldsymbol{E}\times \boldsymbol{F}.$$ Por lo tanto, la curvatura de Berry $F_{xy}$en cada punto de momento simplemente da la respuesta de Hall del estado de una sola partícula en ese momento. Entonces, la conductividad de Hall de todo el sistema de electrones debe ser la suma de la curvatura de Berry sobre todos los estados ocupados, que se establece en la ecuación. (8).