Interpretación de algunos problemas de dominio de los operadores de momento (potencial)

Question

Interpretación de algunos problemas de dominio de los operadores de momento (potencial)

danu

En el contexto de la mecánica cuántica matemática, un bien conocido teorema conocido como Hellinger-Töplitz nos dice que un operador simétrico e ilimitado no se puede definir en todas partes en el espacio de Hilbert. $\mathcal H$ . Así, para muchos operadores de interés en mecánica cuántica, debemos recurrir a restringir el dominio sobre el que pueden actuar. Junto con el hamiltoniano, el operador de cantidad de movimiento

pags := - i \frac{d}{d X}

$p:=-i\frac{\rm d}{\mathrm{d}x}$ es el ejemplo más destacado de tal operador. Ahora, una de las preguntas más importantes es claramente: ¿Cuál es el dominio de definición correcto para el operador de cantidad de movimiento?

Para responder a esta pregunta, es de crucial importancia considerar la cuestión de la autoadjunción: solo los operadores autoadjuntos son admisibles como observables de la teoría, y hay ciertos resultados matemáticos vitales, como el teorema espectral y el teorema de Stone. , lo que deja en claro que cualquier operador de impulso 'bueno' debe ser autoadjunto: $p^\star= p$ . Entonces, la pregunta original se refina ligeramente: ¿Cuál es el dominio correcto $\mathcal D( p)\subset \mathcal H$ que nos permite construir un operador de cantidad de movimiento autoadjunto?

Recientemente, uno de mis profesores trató una encarnación concreta de esta pregunta (general y posiblemente vaga): Considere un espacio de Hilbert $\mathcal H=L^2(0,1)$ y dos 'momentos candidatos', $p_0$ y $p_\alpha$ , con dominios

D ({pags}_{0}) = {ψ \in H | ψ \in C.A. (0, 1), ψ^{'} \in H, ψ (0) = 0 = ψ (1)}

$\mathcal D(p_0)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=0=\psi(1)\}$

D ({pags}_{α}) = {ψ \in H | ψ \in C.A. (0, 1), ψ^{'} \in H, ψ (0) = α ψ (1)}, | α | = 1

$\mathcal D(p_\alpha)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=\alpha\psi(1)\},\hspace{.5cm}|\alpha|=1$ ¿Son estos operadores autoadjuntos? Como resultado, se puede demostrar que

p_{0}

$p_0$ es simétrica pero no autoadjunta. Sin embargo,

p_{α}

$p_\alpha$ es autoadjunto. Parece que el dominio de

p_{0}

$p_0$ Es demasiado pequeño'.

Ahora, mi pregunta es: ¿Qué significa la conclusión de que $p_0\neq p_0^\star$ implica para el ejemplo canónico QM de primer año del pozo de potencial infinito? Hasta donde yo sé, es convencional tomar exactamente las condiciones de contorno que asumimos para definir el dominio de $p_0$ al resolver la ecuación de Schrödinger en este caso. ¿Podemos concluir que la noción de cantidad de movimiento no puede definirse rigurosamente en este ejemplo elemental? O, por lo menos, tenemos que admitir algunos $\psi$ que obedecen a condiciones de contorno no físicas?

Para aquellos interesados, esta es una pregunta relacionada , que también aborda cuestiones de dominio de los operadores de momento.

jjcale

Incluso para una partícula libre, el dominio del operador de cantidad de movimiento es mayor que el dominio del hamiltoniano. Asi que

p_{1}

$p_1$ podría ser el operador de impulso correcto, pero aún no he encontrado un buen argumento para esto.

danu

@jjcale Creo que este punto también se menciona en la respuesta de yuggib

Respuestas (2)

Interpretación de algunos problemas de dominio de los operadores de momento (potencial)

Incluso para una partícula libre, el dominio del operador de cantidad de movimiento es mayor que el dominio del hamiltoniano. Asi que $p_1$ podría ser el operador de impulso correcto, pero aún no he encontrado un buen argumento para esto.
@jjcale Creo que este punto también se menciona en la respuesta de yuggib

mateus sampaio · Answer 1

Aunque podemos definir el impulso como un operador autoadjunto en $L^2[0,1]$ como propusiste, creo que es bastante artificial pensar que tiene relación con el impulso en el caso de $L^2(\Bbb{R})$ . Date cuenta de que el operador $p_1$ con dominio $D(p_1)=\{\psi\in\mathcal{H}^1[0,1]\,|\,\psi(1)=\psi(0)\}$ , está relacionado con las traducciones espaciales a través del grupo unitario $U(t)=\exp(-itp_1)$ , cuya acción es

(tu (t) ψ) (X) = ψ [X - t (modificación 1)],

$(U(t)\psi)(x)=\psi[x-t\pmod{1}],$ entonces se trata de una partícula en un toro, no en un cuadrado infinito. Diferentes valores de

α

$\alpha$ , simplemente dé diferentes fases a la función de onda cuando llegue al borde y vaya al otro lado.

Entonces, en mi opinión, estos operadores no están realmente relacionados con el impulso como se concibe normalmente. La idea de un pozo cuadrado infinito no permite traducciones espaciales, por lo que no hay un operador autoadjunto asociado a un grupo de traducción unitario en este caso. Esto sucede por ejemplo en el caso de una partícula en la línea real positiva $\Bbb{R}_+$ . En este caso, el espacio $L^2[0,\infty)$ permite solo traducciones a la derecha, no a la izquierda, por lo que no puede tener un operador autoadjunto asociado a un grupo unitario de traducciones. En este caso, el operador $p=-i\dfrac{d}{dx}$ no tiene extensiones autoadjuntas, para ningún dominio inicial, aunque es simétrica. Para una partícula en una caja, podemos pensar de la misma manera. No hay ningún operador asociado a las traducciones espaciales, porque no se permiten traducciones espaciales.

También es importante tener en cuenta que el hamiltoniano $H$ en este caso está dada por la extensión de Friedrich de

{pags}_{0}^{2} = - \frac{d^{2}}{d X^{2}} D ({pags}_{0}^{2}) = {ψ \in H^{2} [0, 1] | ψ (0) = ψ^{'} (0) = 0 = ψ^{'} (1) = ψ (1)}

$p_0^2=-\frac{d^2}{dx^2}\\ \mathcal{D}(p_0^2)=\{\psi\in\mathcal{H}^2[0,1]\,|\,\psi(0)=\psi'(0)=0=\psi'(1)=\psi(1)\}$

H

$H$ no puede ser el cuadrado de ninguna

p_{α}

$p_\alpha$ , ya que los dominios no coinciden.

Editar: como lo señaló @jjcale, una forma de tomar el impulso en este caso debería ser $p=\sqrt{H}$ , pero claramente, la acción de $p$ no puede ser una derivada, porque tiene las mismas funciones propias de $H$ , que son de la forma $\psi_k(x)=\sin \pi kx$ . Esto ilustra el hecho de que no está relacionado con las traducciones espaciales como se indicó anteriormente.

Edición 2: hay una prueba de que la extensión de Friedrich es la que tiene las condiciones de contorno de Dirichilet en Simon's Vol. II, apartado X.3.

Los dominios definidos por el teorema espectral son de hecho $\{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$ . Para ver esto, date cuenta de que en este caso, dado que el espectro es puramente puntual, por el teorema espectral, tenemos

{pags}_{α} = \sum_{norte \in Z} λ_{α, norte} {PAGS}_{norte},

$p_\alpha=\sum_{n\in \Bbb{Z}}\lambda_{\alpha,n}P_n,$ dónde

λ_{α, n}

$\lambda_{\alpha,n}$ son los valores propios asociados a los vectores propios normalizados

ψ_{α, n}

$\psi_{\alpha,n}$ , y

P_{n} = ψ_{n} ⟨ ψ_{n}, \cdot ⟩

$P_n=\psi_n\langle\psi_n,\cdot\rangle$ son las proyecciones en cada espacio propio. El dominio

D (p_{α})

$\mathcal{D}(p_\alpha)$ entonces viene dada por los vectores

ξ

$\xi$ , tal que

\sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{2} ‖ {PAGS}_{norte} ξ ‖^{2} = \sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{2} | ⟨ ψ_{norte}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ También,

ξ \in D (p_{α}^{2})

$\xi\in\mathcal{D}(p_\alpha^2)$ si y si

\sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{4} ‖ {PAGS}_{norte} ξ ‖^{2} = \sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{4} | ⟨ ψ_{norte}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ Pero entonces,

p_{α} ξ

$p_\alpha\xi$ Es como

\sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{2} ‖ {PAGS}_{norte} {pags}_{α} ξ ‖^{2} = \sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{2} | ⟨ ψ_{norte}, {pags}_{α} ξ ⟩ |^{2} = \sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{2} | ⟨ {pags}_{α} ψ_{norte}, ξ ⟩ |^{2} = \sum_{norte \in Z} | λ_{α, norte} |^{4} | ⟨ ψ_{norte}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_np_\alpha\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,p_\alpha\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle p_\alpha\psi_n,\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ Asi que,

D (p_{α}^{2}) = {ψ : p_{α} ψ \in D (p_{α})}

$\mathcal{D}(p_\alpha^2)= \{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$ .

La última parte no es precisa. ¿Por qué elige el hamiltoniano como la extensión de Friedrichs de $p_0^2$ ? Esta no parece la mejor opción, y es solo una opción posible. De todos modos, el dominio de esta extensión está contenido en el dominio de cualquier $H_\alpha=p_\alpha^2$ (definido por cálculo funcional).
No, no está en ninguna extensión. Los operadores autoadjuntos no admiten extensiones propias. El dominio de la extensión de Friedrich $H_F$ estarán $\mathcal{D}(H_F)=\{\psi \in \mathcal{H}^2[0,1]:\psi(0)=\psi(1)=0\}$ . el dominio de $H_\alpha$ pone condiciones en las derivadas de las funciones y no contiene el dominio antes citado. Por ejemplo, si $\alpha=1$ , tenemos condiciones periódicas en $\psi$ y $\psi'$ . La elección citada arriba es la natural para las condiciones de contorno de Dirichilet, lo que se espera para el pozo infinito.
Creo que estás cometiendo un error. los $p_0^2$ que has escrito no es un operador autoadjunto (ya que $p_0$ no es autoadjunto); es un operador simétrico positivo densamente definido (en $D(p_0^2)$ ), por lo tanto tiene una extensión de Friedrichs, $H_F$ . Sin embargo $H_F$ no es la única extensión, hay infinitas extensiones (por ejemplo $H_\alpha$ ). El dominio de definición de cualquiera de las extensiones es mayor que el dominio de la extensión de Friedrichs (es un teorema, véase, por ejemplo, aquí ).
Sé que no es la única extensión, pero sí es la única que tiene las condiciones de contorno de Dirichilet. No puede haber extensiones con un dominio mayor que la extensión Friedrich. Los operadores autoadjuntos no admiten extensiones. El enlace que pusiste no dice nada al respecto. Lo que podría estar diciendo es sobre el dominio de forma , que de hecho es el más pequeño para los operadores simétricos de límite inferior. Tenga en cuenta, por ejemplo, que la función propia, $\psi_1=\sin \pi x$ no es del dominio de nadie $H_1$ , ya que $p_1\psi_k \notin \mathcal{D}(p_1)$ . También $\psi_2 \notin \mathcal{D}(H_{-1})$ .
El dominio del operador está incluido en el dominio del formulario, y no estaba diciendo que las otras extensiones incluyan la extensión de Friedrichs, sino simplemente que están definidas en un dominio que es, en cierto sentido, más grande (porque está incluido en un formulario más grande dominio). Además de que debe probar que la extensión de Friedrichs tiene el dominio que reclama (y me gustaría ver esa prueba), eso no le informa sobre los otros dominios. $D(H_\alpha)$ definidos por el teorema espectral (no son simplemente $\{\psi,p_\alpha\psi\in D(p_\alpha)\}$ ).

yuggib · Answer 2

El hecho de que $D(p_0)$ no es lo suficientemente grande para definir un operador autoadjunto no significa que no esté incluido en el dominio del momento autoadjunto. La elección de las condiciones de contorno para la función es una especificación del vector, no del operador.

Una vez que haya fijado la extensión autoadjunta que está considerando (eligiendo el dominio adecuado, generalmente de autoadjunto esencial), puede tomar cualquier estado en el dominio para aplicar el operador $p$ . Obviamente, para estudiar la ecuación de Schrödinger necesitas un vector en el dominio del hamiltoniano, no del momento (y hay vectores en $D(p_0)$ , o también $D(p_\alpha)$ , que no pertenece al dominio del hamiltoniano ;-) )

El problema, en general, es que el cierre de un operador se toma en la topología del grafo, y eso no es muy explícito, por lo que hay que tener cuidado y asegurarse de terminar en el cierre correcto, que no debe ser demasiado pequeño. ser igual al dominio del adjunto.

Buen punto. He actualizado ligeramente mi pregunta, teniendo en cuenta su respuesta. La pregunta que queda es esencialmente: ¿Necesitamos permitir $\psi$ para definir correctamente el impulso? Sin embargo, tal vez esto ya esté abordado en su segundo párrafo.
Tal como lo veo: físicamente desea estados que tengan probabilidad cero en los límites (o al menos que tengan condiciones de contorno simétricas). Por otro lado, necesita una estructura espacial de Hilbert para hacer QM, por lo que debe considerar todo el $L^2(0,1)$ . Aquí el problema de las condiciones de contorno afecta a los dominios de los operadores; sin embargo, una vez que se fija un operador (auto-adjunto) (es decir, fijamos su acción y dominio), está bien. Entonces puede considerar como estados físicos únicamente con las condiciones de contorno deseadas, sin embargo, en principio, la acción de un operador puede cambiarlo a un estado...

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