¿Interesante relación entre la difracción y el principio de incertidumbre de Heisenberg?

La difracción y el HUP están relacionados porque tienen la misma descripción matemática.

La transformada de Fourier a la relación de conmutación canónica y el principio de incertidumbre de Heisenberg. La FT es la transformación unitaria (que preserva la norma y el producto interno, es decir, que preserva la probabilidad) entre las coordenadas de posición y las coordenadas de momento, y se puede demostrar que, dado cualquier par de observables cuánticos$\hat{X}$y$\hat{P}$que cumplen la relación canónica de conmutación$X\,P-P\,X=i\,\hbar\,\mathrm{id}$, la transformación entre coordenadas donde$\hat{X}$y$\hat{P}$son simples operadores de multiplicación es precisamente la transformada de Fourier. Muestro cómo esto debe ser cierto en esta respuesta aquí . Esto lleva a la desigualdad de Heisenberg a través de las propiedades matemáticas puras de la FT, como analizo en esta respuesta aquí y aquí . Una observación de caso especial que resume el comportamiento intuitivamente es que una función y su FT no pueden tener soporte compacto (dominio en el que son distintos de cero): si limita una función de onda (es decir, un estado cuántico) a un pequeño rango de posiciones, su transformada de Fourier es el mismo estado cuántico escrito en coordenadas de momento, por lo que la dispersión sobre los momentos aumenta a medida que limitas las posiciones cada vez más.

La analogía con la difracción es directa. El principio de Huygens, o cualquier método que desee utilizar para explicar la difracción , se explica en detalle en mi respuesta aquí , esta aquí , esta aquí o aquí . Pero un resumen es este. Una onda plana que corre ortogonal a un plano significa que la fase en ese plano es uniforme. A medida que la onda se inclina, su variación de fase en el plano es de la forma$\exp(i\,\vec{k}\,\cdot\,\vec{x})$, dónde$\vec{k}$es el vector de onda y$\vec{x}$la posición transversal en el plano. Entonces, para averiguar qué dispersión de direcciones tiene una onda de luz, toma su transformada de Fourier sobre el plano. La transformada de Fourier en el punto$k_x,\,k_y$es simplemente el peso de superposición del componente de onda plana con dirección definida por$k_x,\,k_y$. Cuanto más dispersa en el espacio de Fourier está una onda, más importante es la dispersión de las direcciones de propagación y más rápidamente se difractará. Entonces, un agujero de alfiler del tamaño de la longitud de onda en una pantalla significa que la dispersión de las direcciones será amplia, simplemente por la abolladura del producto de incertidumbre de la transformada de Fourier. De hecho, para ángulos de difracción pequeños,$\sqrt{k_x^2+k_y^2}/k \approx \theta$, dónde$\theta$es el ángulo que forma la componente de la onda plana con la normal al plano. De hecho, el producto básico de incertidumbre para los FT muestra que$\Delta x\,\Delta k_x = \Delta x\,\Delta \theta\,k \geq \frac{1}{2}$dónde$\Delta x$es el ancho de la rendija y$\Delta \theta$la dispersión angular de la luz difractada.

Estrictamente hablando, la física de la difracción no puede explicarse como el HUP (es decir, como resultado de las relaciones canónicas de conmutación) porque no hay una posición observable.$\hat{X}$para el fotón, así que no puedes pensar en$\Delta\,x\,\Delta p$. Ciertamente, hay pares de observables que conmutan canónicamente: por ejemplo, los mismos componentes del campo eléctrico y del campo magnético observables para el segundo campo electromagnético cuantificado son observables conjugados . La razón por la que funcionan las descripciones de HUP es la analogía matemática que he descrito anteriormente.

Veamos esta relación para las ondas, particularmente para las ondas electromagnéticas:

donde vemos que para la luz v=c

Una onda clásica emerge de un gran conjunto de fotones, el estado cuantificado del electromagnetismo.

Suponiendo que tenemos un solo fotón de frecuencia nu, si multiplicamos ambos lados por hbar y lo dividimos por c, obtenemos una fórmula consistente con la fórmula de incertidumbre de Heisenberg.

lamda h nu/c~h

delta(x)*delta(p)~h

donde el símbolo delta denota que tenemos un cuanto de la cantidad.

El principio de incertidumbre de Heisenberg introduce la relación mayor > en lugar de la igualdad, que es una suposición que no existe dentro de la descripción electromagnética clásica.

Por lo tanto, existe coherencia entre el marco clásico y el de la mecánica cuántica, pero es el clásico el que emerge de la mecánica cuántica, y no al revés.

Entonces, uno podría agitar manualmente el HUP para describir la difracción de una rendija porque, en este caso, uno está esencialmente describiendo delta (x) y delta (p) que son consistentes en ambos marcos. Después de todo, las distancias de las rendijas se eligen para que sean del orden de magnitud de la longitud de onda.

Para comparar con la difracción clásica desde un borde, se necesitaría la solución del problema de la mecánica cuántica con el límite del borde para explicar cómo la distribución de probabilidad dada por las funciones de onda de los fotones concuerda con las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Los fotones PS son partículas elementales y caen en el reino de HUP

Como los fotones/ondas de luz emergen de una rendija muy delgada en un experimento de una sola rendija, usted está observando esos fotones/ondas de luz que esencialmente pasan a través de una pequeña región (del espacio) cerca del borde del obstáculo. Cuando ves la difracción de un obstáculo, no estás viendo la luz lejos del obstáculo. Entonces, la misma explicación funciona.

Las propiedades de la luz como la difracción y la interferencia se explican mediante la construcción de Huygen, que tiene en cuenta la naturaleza ondulatoria de la luz.

El principio de Huygens-Fresnel establece que cada punto en un frente de onda es en sí mismo la fuente de una ondícula esférica, y las infinitas ondículas secundarias que emanan de cada uno de los infinitos puntos únicos en el frente de onda interfieren mutuamente. La suma de estas pequeñas ondas esféricas en cualquier punto del espacio, en cualquier momento, da la fase en ese punto.

No puedo ver cómo HUP puede explicar tales patrones de difracción de máximos y mínimos.

El principio de Heisenberg es básicamente difracción y es claro a partir de la óptica de Fourier. Cuando se describe la trayectoria de una partícula, básicamente se trata de la medición de la posición en varias instancias. Una onda no solo tiene longitud de onda en una dirección sino en todas las direcciones, un frente de onda esférico.

Entonces, cualquier obstrucción es una especie de medida, si se inserta un bloque grueso entre el frente de onda plano, entonces tal vez no se pueda obtener la difracción de la sombra. Básicamente, cuando una partícula está sujeta a probabilidad, a nivel atómico es casi imposible ver o detectar y rastrear una sola partícula.

Entonces, en el caso de la probabilidad, los muchos pasos para seguir, que es el impulso por posición, su resultado final está manchado. Lo que hace una medición de posición que se reorganiza o redistribuye, la difracción es divergencia, por lo que se organiza como fuente puntual. Entonces, en la rejilla de difracción, se obtiene un buen resultado del patrón de interferencia.

Creo que la pregunta es cómo funcionan los dispositivos como la interferencia del interferómetro mach-zender o fabrey-perot. Aa no están redistribuyendo su vector de onda. Entonces seguramente están redistribuyendo energía. A medida que la mecánica cuántica gana popularidad a partir de la explicación del patrón espectral de radiación.