Integral de un producto de polinomios de Legendre

Question

Integral de un producto de polinomios de Legendre

Matemáticas
ortogonalidad
funciones especiales
integrales definidas
legendre-funciones
legendre-polinomios

cris

me gustaria mostrar eso

\int_{- 1}^{1} {PAG}_{norte}^{1} (X) {PAG}_{{norte}^{'}}^{0} (X) \frac{X}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X = {\begin{cases} - \frac{2 norte}{2 norte + 1}, & norte = {norte}^{'} > 0 \\ - 2, & norte > {norte}^{'} y norte - {norte}^{'} incluso \\ 0, & de lo contrario. \end{cases}

$\int_{-1}^{1}P_{n}^{1}(x)P_{n'}^{0}(x)\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm dx = \begin{cases} -\frac{2n}{2n+1},&n=n'>0\\ -2,&n>n'\text{ and } n-n' \text{ even}\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases}$ dónde

P_{n}^{m} (x)

$P_{n}^{m}(x)$ son los polinomios de Legendre asociados. Uno puede ver fácilmente que esta es la respuesta ingresando lo siguiente en Mathematica:

Table[Integrate[
   LegendreP[n, 1, x] LegendreP[n1, x] x/Sqrt[1 - x^2], {x, -1, 
    1}], {n, 0, 10}, {n1, 0, 10}] // MatrixForm

Sin embargo, no sé cómo probarlo. No puedo encontrarlo en ninguna de las fuentes habituales (por ejemplo, DLMF, Gradshteyn y Rhzhik, etc.), quizás porque no es una relación de ortogonalidad. ¿Por favor, me puedes ayudar? Escribiéndolo como

\int_{0}^{π} {PAG}_{norte}^{1} (porque (θ)) {PAG}_{{norte}^{'}}^{0} (porque (θ)) porque (θ) d θ

$\int_{0}^{\pi}P_{n}^{1}(\cos(\theta))P_{n'}^{0}(\cos(\theta))\cos(\theta)d\theta$ podría ayudar, pero no estoy seguro. ¡Gracias!

julio r

Si entiendo correctamente

P_{n}^{0} (x)

$P_n^0(x)$ son los polinomios de Legendre. ¿Cuál es la definición de

P_{n}^{1} (x)

$P_n^1(x)$ ?

Gary

@Giulio Creo que estas son las funciones de Legendre (o Ferrers). Consulte dlmf.nist.gov/14.3

Respuestas (2)

Integral de un producto de polinomios de Legendre

Si entiendo correctamente $P_n^0(x)$ son los polinomios de Legendre. ¿Cuál es la definición de $P_n^1(x)$ ?
@Giulio Creo que estas son las funciones de Legendre (o Ferrers). Consulte dlmf.nist.gov/14.3

elsimplefuego · Answer 1

Por definición tenemos $2^nn!P_n^1(x)=-\sqrt{1-x^2}D^{n+1}(x^2-1)^n$ entonces $P_n^1(x)=-\sqrt{1-x^2}P_n'(x)$ . De este modo

\begin{aligned} (1) & \int_{- 1}^{1} \frac{X {PAG}_{norte}^{1} (X) {PAG}_{{norte}^{'}} (X)}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X & = - \int_{- 1}^{1} X {PAG}_{{norte}^{'}} (X) {PAG}_{norte}^{'} (X) d X \\ = - {[X {PAG}_{{norte}^{'}} (X) {PAG}_{norte} (X)]}_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} (X {PAG}_{{norte}^{'}} (X))^{'} {PAG}_{norte} (X) d X \\ = - (1 + (- 1)^{norte + {norte}^{'}}) + \int_{- 1}^{1} {PAG}_{{norte}^{'}}^{'} (X) {PAG}_{norte} (X) d X + \int_{- 1}^{1} X {PAG}_{{norte}^{'}}^{'} (X) {PAG}_{norte} (X) d X \\ (2) & = - (1 + (- 1)^{norte + {norte}^{'}}) + \frac{2}{2 norte + 1} d_{norte {norte}^{'}} + \int_{- 1}^{1} X {PAG}_{{norte}^{'}}^{'} (X) {PAG}_{norte} (X) d X . \end{aligned}

$\begin{align}\int_{-1}^1\frac{xP_n^1(x)P_{n'}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx&=-\int_{-1}^1xP_{n'}(x)P_n'(x)\,dx\tag1\\&=-\left[xP_{n'}(x)P_n(x)\right]_{-1}^1+\int_{-1}^1(xP_{n'}(x))'P_n(x)\,dx\\&=\small-(1+(-1)^{n+n'})+\int_{-1}^1P_{n'}'(x)P_n(x)\,dx+\int_{-1}^1xP_{n'}'(x)P_n(x)\,dx\\&=-(1+(-1)^{n+n'})+\frac2{2n+1}\delta_{nn'}+\int_{-1}^1xP_{n'}'(x)P_n(x)\,dx.\tag2\end{align}$ Ortogonalidad significa que

\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) f (x) d x = 0

$\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=0$ cuando sea

n > \deg f

$n>\deg f$ . En

(1)

$(1)$ , esto significa que

\deg P_{n^{'}} \leq \deg (x P_{n}^{'})

$\deg P_{n'}\le\deg(xP_n')$ de modo que

n^{'} \leq n

$n'\le n$ . Por lo tanto, cuando

n^{'} < n

$n'<n$ , Debemos tener

δ_{n n^{'}} = 0

$\delta_{nn'}=0$ y

\int_{- 1}^{1} x P_{n^{'}}^{'} (x) P_{n} (x) d x = 0

$\int_{-1}^1xP_{n'}'(x)P_n(x)\,dx=0$ entonces

\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} \frac{X {PAG}_{norte}^{1} (X) {PAG}_{{norte}^{'}} (X)}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X = - (1 + (- 1)^{norte + {norte}^{'}}) = {\begin{cases} - 2 & si norte - {norte}^{'} incluso \\ 0 & de lo contrario \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align}\boxed{\int_{-1}^1\frac{xP_n^1(x)P_{n'}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-(1+(-1)^{n+n'})=\begin{cases}-2&\quad\text{if}\quad n-n'\quad\text{is even}\\0&\quad\text{otherwise}\end{cases}}\end{align}$ Cuando

n = n^{'}

$n=n'$ , podemos igualar

(1)

$(1)$ y

(2)

$(2)$ dar

2 \int_{- 1}^{1} x P_{n} (x) P_{n}^{'} (x) d x = 1 + (- 1)^{2 n} - \frac{2}{2 n + 1}

$2\int_{-1}^1xP_n(x)P_n'(x)\,dx=1+(-1)^{2n}-\frac2{2n+1}$ entonces

\int_{- 1}^{1} \frac{X {PAG}_{norte}^{1} (X) {PAG}_{norte} (X)}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X = - (1 - \frac{1}{2 norte + 1}) = - \frac{2 norte}{2 norte + 1} .

$\boxed{\int_{-1}^1\frac{xP_n^1(x)P_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\left(1-\frac1{2n+1}\right)=-\frac{2n}{2n+1}.}$

julio r · Answer 2

Introducir las cantidades

A_{norte, metro} := \int_{- 1}^{1} \partial^{norte + 2} ((X^{2} - 1)^{norte + 1}) \partial^{metro} ((X^{2} - 1)^{metro}) d X .

$A_{n,m}:=\int_{-1}^1\partial^{n+2}((x^2-1)^{n+1})\partial^{m}((x^2-1)^m)dx.$ Rendimientos de integración por partes

A_{norte, metro} = - A_{metro - 1, norte + 1} + (1 - (- 1)^{norte + metro + 1}) 2^{norte + metro + 1} metro! (norte + 1)! .

$A_{n,m}=-A_{m-1,n+1}+(1-(-1)^{n+m+1})2^{n+m+1}m!(n+1)!.$ Ahora bien, ya que claramente

A_{n, m} = 0

$A_{n,m}=0$ mientras

m > n

$m>n$ , esto permite calcular todos

A_{m, n}

$A_{m,n}$ 's.

Hasta constantes, tenemos

{PAG}_{norte} (X) = C_{norte} \partial_{X}^{norte} ((X^{2} - 1)^{norte}), {PAG}_{norte}^{1} (X) = \frac{C_{norte}^{1}}{\sqrt{X^{2} - 1}} \partial_{X}^{norte + 1} ((X^{2} - 1)^{norte}),

$P_n(x)=C_n\partial_x^n((x^2-1)^n),\qquad P_n^1(x)=\frac{C_n^1}{\sqrt{x^2-1}}\partial_x^{n+1}((x^2-1)^n),$ por lo tanto, la integral que buscamos es esencialmente

\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} X \partial_{X}^{norte + 1} ((X^{2} - 1)^{norte}) \partial_{X}^{metro} ((X^{2} - 1)^{metro}) d X \\ = \int_{- 1}^{1} [\partial_{X}^{norte + 1} (X (X^{2} - 1)^{norte}) - (norte + 1) \partial_{X}^{norte} ((X^{2} - 1)^{norte})] \partial_{X}^{metro} ((X^{2} - 1)^{metro}) d X \\ = \int_{- 1}^{1} \partial_{X}^{norte + 1} (X (X^{2} - 1)^{norte}) \partial_{X}^{metro} ((X^{2} - 1)^{metro}) d X - (norte + 1) \int_{- 1}^{1} \partial_{X}^{norte} ((X^{2} - 1)^{norte}) \partial_{X}^{metro} ((X^{2} - 1)^{metro}) d X . \end{aligned}

$\begin{align} &\qquad\int_{-1}^1 x\partial_x^{n+1}((x^2-1)^n)\partial_x^{m}((x^2-1)^m)dx \\&=\int_{-1}^1 \left[\partial_x^{n+1}(x(x^2-1)^n)-(n+1)\partial_x^n((x^2-1)^n)\right]\partial_x^{m}((x^2-1)^m)dx \\&=\int_{-1}^1 \partial_x^{n+1}(x(x^2-1)^n)\partial_x^{m}((x^2-1)^m)dx-(n+1)\int_{-1}^1 \partial_x^n((x^2-1)^n)\partial_x^{m}((x^2-1)^m)dx. \end{align}$ Ahora bien, la segunda integral de la última expresión se calcula por la propiedad de ortogonalidad (o, lo que es equivalente, directamente por partes) y la primera se calcula fácilmente en términos de la

A_{n, m}

$A_{n,m}$ se introdujo anteriormente, porque

\partial_{X}^{norte + 1} (X (X^{2} - 1)^{norte}) = \partial_{X}^{norte + 1} (\frac{1}{2 (norte + 1)} \partial_{X} (X^{2} - 1)^{norte + 1}) = \frac{1}{2 (norte + 1)} \partial_{X}^{norte + 2} ((X^{2} - 1)^{norte + 1}) .

$\partial_x^{n+1}(x(x^2-1)^n) = \partial_x^{n+1}\left(\frac 1{2(n+1)}\partial_x(x^2-1)^{n+1}\right) =\frac 1{2(n+1)}\partial_x^{n+2}((x^2-1)^{n+1}).$

Integral de un producto de polinomios de Legendre

cris

julio r

Gary

Respuestas (2)

elsimplefuego

julio r

Integral definida de la función de Bessel modificada de segundo tipo

Integral con funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase

Integral en términos de la función de Bessel modificada de segunda clase

Integral ∫10x2−2x2−1−−−−√dx=π2π√Γ2(1/4)+Γ2(1/4)42π√∫01x2−2x2−1dx=π2πΓ2(1/4)+Γ2(1/4) )42π\int_0^1 \sqrt{\frac{x^2-2}{x^2-1}}\, dx=\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1 /4)}+\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}

integral de función de bessel modificada de 2º tipo

Integral definida que implica la función de Bessel modificada de primera especie y su logaritmo

Una integral que podría dividirse en funciones pares e impares

Resultados no coincidentes usando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Integral gaussiana unidimensional que involucra una función racional

Una expresión general simple para una integral definida