Integral con funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase

Question

Integral con funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase

integración
Matemáticas
bessel-funciones
funciones especiales
integrales definidas
integrales elípticas

khristo mikhail

Considere la siguiente integral

I (a, b) = \int_{0}^{+ \infty} porque (X) I_{1} (a X) k_{1} (b X) d X,

$I\left(a, b\right)=\int\limits _0^{+\infty}\cos\left(x\right)I_1\left(ax\right)K_1\left(bx\right)dx,$ dónde

a

$a$ y

b

$b$ son parámetros tales que

b \geq a \geq 0

$b\geq a \geq 0$ , y

I_{ν} (x)

$I_\nu\left(x\right)$ y

K_{ν} (x)

$K_\nu\left(x\right)$ son las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase, respectivamente.

¿Es posible expresar esta integral en términos de funciones especiales elementales y básicas?

Ya se ha abordado un problema similar ; el resultado implica integrales elípticas completas.

yuriy s

Lo intenté

a = b = 1

$a=b=1$ y WA también da una respuesta en términos de integrales elípticas completas, así que parece que estás de suerte. Aunque considerando la larga solución en la respuesta vinculada, esta tampoco será fácil

Claudio Leibovici

@YuriyS. traté de hacer

b = a + ϵ

$b=a+\epsilon$ y expandirse alrededor

ϵ = 0

$\epsilon=0$ pero de ninguna manera

Respuestas (2)

Integral con funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase

Lo intenté $a=b=1$ y WA también da una respuesta en términos de integrales elípticas completas, así que parece que estás de suerte. Aunque considerando la larga solución en la respuesta vinculada, esta tampoco será fácil
@YuriyS. traté de hacer $b=a+\epsilon$ y expandirse alrededor $\epsilon=0$ pero de ninguna manera

Mariusz Iwaniuk · Answer 1

\int_{0}^{\infty} porque (X) I_{1} (a X) k_{1} (b X) d X = \frac{q_{\frac{1}{2}} (\frac{a^{2} + b^{2} + 1}{2 a b})}{2 \sqrt{a b}}

$\int_0^{\infty } \cos (x) I_1(a x) K_1(b x) \, dx=\frac{Q_{\frac{1}{2}}\left(\frac{a^2+b^2+1}{2 a b}\right)}{2 \sqrt{a b}}$

dónde: $Q_{\frac{1}{2}}\left(\frac{a^2+b^2+1}{2 a b}\right)$ es la función Q de Legendre.

del Libro: Tabla de Integrales, Series y Productos 8ª Edición en la página: 726 en:6.672.4

Claudio Leibovici · Answer 2

Para $a=b>0$ , un CAS produce

I (a, a) = \frac{(2 a^{2} + 1) k (- 4 a^{2}) - mi (- 4 a^{2})}{2 a^{2}}

$I(a,a)=\frac{\left(2 a^2+1\right) K\left(-4 a^2\right)-E\left(-4 a^2\right)}{2 a^2}$

Integral con funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase

khristo mikhail

yuriy s

Claudio Leibovici

Respuestas (2)

Mariusz Iwaniuk

Claudio Leibovici

Integral ∫10x2−2x2−1−−−−√dx=π2π√Γ2(1/4)+Γ2(1/4)42π√∫01x2−2x2−1dx=π2πΓ2(1/4)+Γ2(1/4) )42π\int_0^1 \sqrt{\frac{x^2-2}{x^2-1}}\, dx=\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1 /4)}+\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}

Integral definida que implica la función de Bessel modificada de primera especie y su logaritmo

Integral definida de la función de Bessel modificada de segundo tipo

Integral en términos de la función de Bessel modificada de segunda clase

Forma cerrada de la integral elíptica ∫2π01+cos2(x)−−−−−−−−−√dx∫02π1+cos2⁡(x)dx\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2 (x)}\,dx

Demostrar forma cerrada conocida para ∫∞0e−xI0(x3)3dx∫0∞e−xI0(x3)3dx\int_0^\infty e^{-x}I_0\left(\frac{x}{3}\right) ^3\;dx

integral de función de bessel modificada de 2º tipo

Integral de la función de Bessel modificada de segundo tipo

Integral de un producto de polinomios de Legendre

Una integral que podría dividirse en funciones pares e impares