Integral en términos de la función de Bessel modificada de segunda clase

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral definida

∫ − ∞ ∞ d X Exp ⁡ [ − β ( 1 + X 2 ) 2 ] ,
para β > 0 , que Mathematica Integrate[]evalúa como
Exp ⁡ ( − β / 2 ) k 1 / 4 ( β / 2 ) 2 ,
dónde k ( ⋅ ) ( ⋅ ) es la función de Bessel modificada de segunda clase.

No puedo ver este resultado a partir de las representaciones integrales estándar de la función de Bessel modificada de segundo tipo. La representación más cercana a los resultados de Mathematica en la biblioteca NIST parece ser Eqs. 10.32.8 y 10.32.10, pero tampoco puedo convertir mi integral. ¿Hay otras representaciones integrales de k que no me doy cuenta?

Respuestas (1)

Por http://dlmf.nist.gov/12.5.E1 y http://dlmf.nist.gov/12.7.E10 , tenemos

∫ − ∞ + ∞ Exp ⁡ ( − β ( 1 + X 2 ) 2 ) d X = t = X 2 ⁡ mi − β ∫ 0 + ∞ t − 1 2 Exp ⁡ ( − β t 2 − 2 β t ) d t = s = 2 β t ⁡ mi − β ( 2 β ) − 1 / 4 ∫ 0 + ∞ s − 1 2 Exp ⁡ ( − 1 2 s 2 − 2 β s ) d s = mi − β / 2 ( 2 β ) − 1 / 4 π tu ( 0 , 2 β ) = mi − β / 2 2 k 1 / 4 ( β / 2 ) .

Acabo de descubrir esto yo mismo. No sabía de la relación entre la función cilíndrica parabólica D − 1 / 2 y k 1 / 4 , y lo acabo de ver en el capítulo 46 de An Atlas of Function , 2e, de Oldham et al. No obstante, ¡gracias por la respuesta detallada!
Le recomiendo que use la Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST o su versión impresa, el Manual de funciones matemáticas del NIST. Estas son referencias más modernas.
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