Integral definida que implica la función de Bessel modificada de primera especie y su logaritmo

Podemos deshacernos de un parámetro configurando$x=\frac{1}{\sqrt{a}}z$, entonces, siempre que$\lambda=\frac{b}{\sqrt{a}}$:

$$I(\lambda) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{+\infty}\exp\left(-z^2\right) I_1(\lambda z)\log\left(I_1(\lambda z)\right)\, dz.$$ Ahora $I_1(x)$es una solución de la ecuación diferencial: $$x^2 f''+ xf'=(x^2+1)\,f,$$ de ahí se sigue que: $$\lambda^2 I''(\lambda)+\lambda\, I'(\lambda) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{+\infty}e^{-z^2}\left(\lambda^2 z^2\frac{I_1'(\lambda z)^2}{I_1(\lambda z)}+(1+\log I_1(\lambda z))(1+\lambda^2 z^2)I_1(\lambda z)\right)\,dz$$ Ahora el plan es deshacerse de todo lo computable en el lado derecho de la última expresión, para tener $I(\lambda)$como una solución de una EDO no homogénea. Sin embargo, esto parece bastante difícil. Los resultados parciales son: $$\int_{0}^{+\infty}e^{-z^2}I_1(\lambda z)\,dz = \frac{1}{\lambda}\left(e^{\frac{\lambda^2}{4}}-1\right),$$ $$\int_{0}^{+\infty}z^2 e^{-z^2}I_1(\lambda z)\,dz = \frac{\lambda}{4}e^{\frac{\lambda^2}{4}},$$ se logran fácilmente a través de la transformada (inversa) de Laplace.

Por cierto, la integral original depende de la divergencia de Kullback-Leibler entre una distribución extraña, teniendo$\frac{1}{e^{1/4}-1}e^{-x^2}I_1(x)$como un pdf soportado en$\mathbb{R}^+$, y una distribución normal.