¿Por qué las ondas de choque normales son inestables en un canal convergente?

La respuesta se debe a la relación área- número de Mach para choques hidrodinámicos . GB Whitham tiene un gran libro (consulte el Capítulo 8) sobre todo tipo de ondas y tiene una buena discusión sobre este tema.

La idea es que uno puede definir el número de Mach como una función del área de la sección transversal de un tubo de rayos . La forma sencilla es:

$$\frac{ 1 }{ A } \frac{ d A }{ d M } = -g\left( M \right) \tag{1}$$ donde g(M) viene dada por: $$\begin{align} g\left( M \right) & = \frac{ M }{ M^{2} - 1 } \left( 1 + \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \frac{ 1 - \mu^{2} }{ \mu } \right) \left( 1 + 2\mu + \frac{ 1 }{ M^{2} } \right) \tag{2a} \\ \mu^{2} & = \frac{ \left( \gamma - 1 \right) M^{2} + 2 }{ 2\gamma M^{2} - \left( \gamma - 1 \right) } \tag{2b} \end{align}$$ dónde $\gamma$= relación de calores específicos , $M$= número de Mach. La idea es encontrar ecuaciones para la velocidad del flujo, la presión y la densidad como funciones de las condiciones iniciales. Podemos reescribir la primera ecuación usando la regla de la cadena para encontrar: $$g\left( M \right) \frac{ d M }{ d x } + \frac{ 1 }{ A } \frac{ d A }{ d x } = 0 \tag{3}$$ Entonces la idea es parametrizar el número de Mach en función del área. En el caso que describe, el número de Mach es inversamente proporcional a la longitud de escala utilizada para definir el área (por ejemplo, radio si es un canal esférico). Entonces puedes ver que esto causaría $M$divergir como A $\rightarrow$0.

Dado que el flujo a granel no va a acelerar para mantener$M$= constante, es poco probable que un shock se mantenga.

Desafortunadamente, esto no se discute todo. Como mencioné en mi comentario, debe preocuparse por el reflejo en las paredes del canal, lo que puede causar interacciones de choque a choque. Encontré algunos documentos que argumentaban que se podía encontrar estabilidad (por ejemplo, pdf encontrado aquí), pero dudo que sea una solución general.