Integral de la función de distribución de iones en la derivación del campo de Dreicer

Question

Integral de la función de distribución de iones en la derivación del campo de Dreicer

Física
cálculo
astrofísica
Teoría cinética
plasma-física
deberes-y-ejercicios

Andrés

Descargo de responsabilidad: incluyo un poco de experiencia en física, pero creo que esto puede ser resuelto por alguien con una sólida comprensión del cálculo.

Estoy siguiendo la derivación de la fuerza del campo eléctrico crítico (Dreicer Field) que conduce a electrones fuera de control en un plasma expuesto a un fuerte campo eléctrico externo.

Fuente: https://journals-aps-org.stanford.idm.oclc.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.115.238

Como parte del proceso, definen la fricción dinámica entre dos especies (iones (i) y electrones (e)) utilizando Fokker-Planck con potenciales de Rosenbluth.

Se dan las siguientes definiciones de los potenciales de Rosenbluth:

$H_{e,i} = \frac{m_e+m_i}{m_i}\Gamma_e\int{\frac{F_i(r,c',t)}{w}d^3c'}$

$w = |c-c'|$

$\Gamma_e= 4\pi\left(\frac{c^2}{4\pi \epsilon_0 m_e}\right)^2\log{\frac{\lambda}{\rho_0}}$

dónde:

r: espacio de posición
c: espacio de velocidad de electrones
c': espacio de velocidad de iones
$F_i(r,c',t)$ : función de distribución de iones de 7 dimensiones

se supone que todo lo demás enumerado es constante, incluido $\log{\frac{\lambda}{\rho_0}}$

En un punto posterior del documento definen $F(r,c,t)$ en el sentido general como una distribución Maxwelliana desplazada dada como:

$F_\alpha(r,c,v(t)) = n(r)\left(\frac{\beta_\alpha(r)}{\pi}\right)^{3/2}\exp{\left(-\beta_\alpha(r)|c-v_\alpha(t)|^2\right)}$

$\beta_\alpha(r) = \frac{m_\alpha}{2kT_\alpha(r)}$

dónde $v_\alpha(t)$ es la velocidad de la especie a granel, y $T_\alpha(r)$ es la temperatura de la especie.

Con esta definición general de la función de distribución de especies, el autor pretende tomar esta definición y aplicarla a la definición de los potenciales de Rosenbluth enumerada anteriormente para generar el resultado:

$H_{e,i} = \frac{m_e+m_i}{m_i}\Gamma_e\frac{\xi(\beta_i^{1/2}q)}{q}$

$\xi(x) = \frac{2}{\sqrt(\pi)}\int_{0}^{x}\exp{(-t^2)}dt$

$q = |c-v_i(t)|$

Mi pregunta es ¿cómo se combinan las dos definiciones anteriores para producir este resultado? En mi opinión, sustituir e integrar no produce este resultado, pero mis matemáticas podrían estar equivocadas. ¿Alguien con una mejor mente para Cálculo tiene alguna idea sobre esto?

honeste_vivere

El

ξ (x)

$\xi(x)$ término es sólo una función de error. La razón por la que aparece es que solo los electrones hasta esa velocidad normalizada (es decir, la velocidad de deriva de los electrones sobre la velocidad térmica del ion) juegan un papel en la contribución al potencial. Notarás que en realidad no integran nada, simplemente reemplazan la función de error con una expresión simbólica. La función de error se integra numéricamente. El

q

$q$ el factor solo tiene en cuenta la transformación del marco (es decir, evalúa el potencial en el marco de reposo de iones).

Respuestas (1)

Integral de la función de distribución de iones en la derivación del campo de Dreicer

El $\xi(x)$ término es sólo una función de error. La razón por la que aparece es que solo los electrones hasta esa velocidad normalizada (es decir, la velocidad de deriva de los electrones sobre la velocidad térmica del ion) juegan un papel en la contribución al potencial. Notarás que en realidad no integran nada, simplemente reemplazan la función de error con una expresión simbólica. La función de error se integra numéricamente. El $q$ el factor solo tiene en cuenta la transformación del marco (es decir, evalúa el potencial en el marco de reposo de iones).

endulo · Answer 1

No podrá ver el resultado solo por inspección porque los potenciales de Rosenbluth son integrales triples y el resultado final es solo una integral. En realidad, debe realizar las integrales sobre dos coordenadas de velocidad para llegar al resultado citado. A continuación se muestran los primeros pasos para hacerlo.

Primero cambie las variables a $C = c'-c$ .

\begin{aligned} \int_{R^{3}} d^{3} C^{'} \frac{F (\vec{r}, C^{'}, t)}{w} & = {norte}_{i} {(\frac{β_{i}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} d^{3} C^{'} \frac{1}{| C^{'} - C |} {mi}^{- β_{i} | C - v_{i} |^{2}} \\ = {norte}_{i} {(\frac{β_{i}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} d^{3} C \frac{1}{| C |} {mi}^{- β_{i} | C + C - v_{i} |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathbb R^3}d^3c' \frac{F(\vec r, c', t)}{w} &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2}\int_{\mathbb{R}^3} d^3c' \frac{1}{|c'- c|} e^{-\beta_i|c-v_i|^2}\\ &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_{\mathbb R^3} d^3C \frac{1}{|C|}e^{-\beta_i|C+c-v_i|^2} \end{align}$ Luego, expande el exponente usando la Ley de los Cosenos,

| C + C - v_{i} |^{2} = | C |^{2} + | C - v_{i} |^{2} + 2 | C - v_{i} | | C | porque θ = w^{2} + q^{2} + 2 q w porque θ,

$|C+c-v_i|^2 = |C|^2 + |c-v_i|^2 + 2|c-v_i||C|\cos\theta = w^2 + q^2 + 2qw\cos\theta ,$ dónde

θ

$\theta$ es el ángulo entre

C

$C$ y

c - v_{i}

$c-v_i$ . Ahora exprese la integral en un sistema de coordenadas esféricas

(C_{x}, C_{y}, C_{z}) \to (w, θ, ϕ)

$(C_x,C_y,C_z)\to(w,\theta,\phi)$ ,

\begin{aligned} {norte}_{i} {(\frac{β_{i}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} d^{3} C \frac{1}{| C |} {mi}^{- β_{i} (w^{2} + q^{2})} {mi}^{- 2 β_{i} q w porque θ} \\ = {norte}_{i} {(\frac{β_{i}}{π})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d w \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ w^{2} pecado θ \frac{1}{w} {mi}^{- β_{i} (w^{2} + q^{2})} {mi}^{- 2 β_{i} q w porque θ} \end{aligned}

$\begin{align} &n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_{\mathbb R^3} d^3C \frac{1}{|C|}e^{-\beta_i(w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \\ &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_0^\infty dw \int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\phi ~w^2 \sin\theta \frac{1}{w}e^{-\beta_i (w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \end{align}$ El integrando es independiente de

ϕ

$\phi$ , entonces la integral sobre

ϕ

$\phi$ solo contribuye con un factor general de

2 π

$2\pi$ . El

θ

$\theta$ integral es más fácil de hacer con la sustitución

u = \cos θ

$u = \cos\theta$ ,

d u = - \sin θ d θ

$du = -\sin\theta d\theta$

\begin{aligned} {norte}_{i} {(\frac{β_{i}}{π})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d w \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ w^{2} pecado θ \frac{1}{w} {mi}^{- β_{i} (w^{2} + q^{2})} {mi}^{- 2 β_{i} q w porque θ} \\ = 2 π {norte}_{i} (β_{i} / π)^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} d w w {mi}^{- β_{i} (w^{2} + q^{2})} \int_{- 1}^{1} d tu {mi}^{- 2 β_{i} q w tu} \\ = {norte}_{i} β_{i}^{3 / 2} \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} d w w {mi}^{- β_{i} (w^{2} + q^{2})} \frac{1}{2 β_{i} q w} [{mi}^{2 q w} - {mi}^{- 2 q w}] \\ = \frac{{norte}_{i} \sqrt{β_{i}}}{q \sqrt{π}} [\int_{0}^{\infty} d w {mi}^{- β_{i} (w^{2} - 2 q w + q^{2})} - \int_{0}^{\infty} d w {mi}^{- β_{i} (w^{2} + 2 q w + q^{2})}] \end{aligned}

$\begin{align} & n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_0^\infty dw \int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\phi ~w^2 \sin\theta \frac{1}{w}e^{-\beta_i (w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \\ &= 2\pi n_i(\beta_i/\pi)^{3/2}\int_0^\infty dw~w e^{-\beta_i(w^2+q^2)}\int_{-1}^1 du ~e^{-2\beta_i q w u} \\ &= n_i\beta_i^{3/2}\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty dw~w e^{-\beta_i (w^2+q^2)}~\frac{1}{2\beta_i q w}\left[ e^{2qw} - e^{-2qw} \right] \\ &= \frac{n_i\sqrt{\beta_i}}{q\sqrt{\pi}} \left[ \int_0^\infty dw~e^{-\beta_i(w^2 -2qw + q^2)} - \int_0^\infty dw~e^{-\beta_i(w^2 + 2qw +q^2)} \right] \end{align}$ Así, la integral tridimensional se ha reducido a solo dos integrales unidimensionales. Dejaré los pasos finales para expresarlos en términos de

ξ (\sqrt{β_{i}} q)

$\xi(\sqrt{\beta_i}q)$ . Se puede hacer con cambios muy rutinarios de variables.

Integral de la función de distribución de iones en la derivación del campo de Dreicer

Andrés

honeste_vivere

Respuestas (1)

endulo

Temperatura de un plasma mixto

Hallar la distancia aproximada entre las moléculas de un gas

Potencial efectivo para la geometría de Kerr

Líneas de Balmer y sus posiciones

Expansión en serie de Taylor de lnln\ln y coshcosh\cosh en la distancia caída en el tiempo ecuación ttt

¿Transmisiones de radio de longitud de onda astronómica (AWR) entre plasmas cósmicos?

¿Siguen siendo las estrellas eléctricamente neutras? [duplicar]

¿Cómo hacer las integrales sobre la función delta multivariante?

Distribución de la densidad del medio interestelar

Confusión sobre el componente de volumen en la Ley de Gauss para un cilindro