¿Índices de Miller vs índices de Laue?

La distinción entre los dos índices es bastante sutil. Quizá sea mejor empezar por la condición laue. Digamos que tengo filas de átomos con espaciado$a$. Estamos en el límite de Fraunhofer, por lo que cuando dos haces de rayos X entran y se dispersan de los átomos vecinos, vienen y salen en paralelo. Entonces podemos considerar la diferencia de longitud de la trayectoria entre los haces entrantes y salientes, es decir$\Delta^1 = \Delta_1 - \Delta_2= a \cos \alpha_1 - a \cos \alpha_2$dónde$\alpha_1$es el ángulo entre el haz entrante y la fila de átomos y$\alpha_2$es el ángulo entre el haz saliente y la fila de átomos. La condición para la interferencia constructiva es que$\Delta^1 = h \lambda$dónde$\lambda$es la longitud de onda y h es un número entero. Este análisis se puede hacer en las tres direcciones y luego la condición tiene que ser verdadera en las tres direcciones dando$\Delta^2 = k\lambda \text{ and } \Delta^3 = l\lambda$.(Habrá ángulos correspondientes para las otras diferencias de longitud de trayectoria).

Entonces podemos definir vectores unitarios entrantes$s_1 = (\cos \alpha_1,\cos \beta_1, \cos \gamma_1)$y saliente$s_2 = (\cos \alpha_2, \cos \beta_2, \cos \gamma_2)$. A partir de esto, consideramos la onda de dispersión$s_1-s_2= G \lambda$con$G = \frac{1}{a}(h,k,l)$desde$s_1 ,s_2$son vectores unitarios$G$será perpendicular al vector que biseca el ángulo entre$s_1$y$s_2$.

Ahora viene el primer punto crucial, dibujar planos que sean paralelos al plano que biseca el ángulo entre los rayos entrantes y salientes. Estos son los planos de la red y definen los índices de Miller. Los índices de Laue estarán definidos por otro conjunto de planos. Volviendo a los planos de la red, llame a la distancia entre cada plano sucesivo$d_{hkl}$esta es la distancia que aparece en la ley de Bragg. Cuando elegimos una celda primitiva, entonces (hkl) son nuestros índices de Miller.

¿Qué pasa con los índices de Laue? Bueno, miramos la ley de Bragg.$n \lambda = 2 d_{hkl} \sin \theta_n$. Ahora viene el segundo punto crucial, tenga en cuenta que el$m^{th}$la reflexión de orden fuera del plano (hkl) puede considerarse como$n^{th}$ordenar si yo$\textit{define}$nuevos aviones a distancia$\frac{d_{hkl}n}{m}$es decir$m \frac{n}{m}\lambda=2 (d_{hkl}\frac{n}{m})\sin \theta_m$Esta familia de planos viene dada entonces por la notación$\frac{m h}{n} \frac{m k}{n} \frac{m l}{n}$sin paréntesis. Estos son los índices de Laue, observe cómo pueden tener factores comunes incluso si comenzamos con una celda primitiva.

Por lo que he leído y la respuesta de Amara, esto es lo que he encontrado.

Índices de Miller

Un conjunto de 3 índices.$h,k,l$que especifican una familia de planos de celosía , así como el vector de celosía recíproco más corto en una dirección dada.

Índices de Laue

también conocido como índices de reflexión ¹ .

Un conjunto de 3 índices.$H$,$K$,$L$, que especifican una familia de planos (nótese que no hay 'celosía') a partir de los cuales se forman los picos de reflexión de Bragg.

Restricción de valores

Es una afirmación común que los índices de Miller deben ser coprimos (es decir, no tener factores comunes), pero esto simplemente no es cierto. Los índices de Miller toman cualquier valor que deseen siempre que correspondan a una familia de planos de celosía (lo que restringe sus valores a pequeños enteros). Los índices de Laue pueden tomar cualquier valor que sea un múltiplo entero de un conjunto válido de índices de Miller.

Ejemplos

Para una celda cúbica simple (111) es un conjunto de índices de Miller (222) no es pero (222) es un conjunto válido de índices de Laue.

Sin embargo, para un fcc con una celda unitaria convencional (100) no es un conjunto válido de índices de Miller (no corresponde a un conjunto de planos de red), (200). (300) no es un conjunto válido de índices de Laue, pero (200) y (400), etc., sí lo son.

Advertencia

He visto libros donde todos los conjuntos de índices$hkl$se denominan simplemente índices de Miller sin ninguna restricción ni se ha introducido el concepto de índices de Laue.

Referencias

[1] Hammond, C. 2009. Conceptos básicos de cristalografía y difracción (Vol. 12). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. (~ pág. 111)

[2] Fredriksson, H. y Åkerlind, U., 2008. Física de materiales funcionales. John Wiley & Sons. (pág. 134)

[3] Clegg, W. 2015. Cristalografía de rayos X. Prensa de la Universidad de Oxford (pág. 109)

_{¹ Índices de reflexión es un término de búsqueda mucho más lucrativo.}