¿Qué es un modo?

En un sentido muy matemático, la mayoría de las veces un modo se refiere a un vector propio de una ecuación lineal. Considere el problema de los resortes acoplados

$$\frac{d}{dt^2} \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} - 2 \omega_0^2 & \omega_0^2 \\ \omega_0^2 & - \omega_0^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$$ o en forma independiente de la base $$\frac{d}{dt^2}\lvert x(t) \rangle = T \rvert x(t) \rangle \, .$$ Este problema es difícil porque las ecuaciones de movimiento para $x_1$y $x_2$están acoplados. Los modos normales son (hasta el factor de escala) $$\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array} \right] \, .$$ Estos vectores son vectores propios de $T$. Siendo vectores propios, si desarrollamos $\lvert x(t) \rangle$y $T$en términos de estos vectores, las ecuaciones de movimiento se desacoplan. En otras palabras

El conjunto de modos normales es la base vectorial que diagonaliza las ecuaciones de movimiento (es decir, diagonaliza$T$).

Esa definición te llevará bastante lejos.

La situación es la misma en la mecánica cuántica. Los modos normales de un sistema provienen de la ecuación de Schrödinger

$$i \hbar \frac{d}{dt}\lvert \Psi(t) \rangle = \hat{H} \lvert \Psi \rangle \, .$$ Un vector propio de $\hat{H}$es un modo normal del sistema, también llamado estado estacionario o estado propio. Estos modos normales tienen otra propiedad importante: bajo la evolución del tiempo mantienen su forma, recogiendo solo prefactores complejos. $\exp[-i E t / \hbar]$dónde $E$es el valor propio de la moda bajo el $\hat{H}$operador (es decir, la energía del modo). En realidad, este también fue el caso en el sistema clásico. Si el sistema de resortes acoplados se inicia en un estado propio de $T$(es decir, en modo normal), luego permanece en una versión escalada de ese modo normal para siempre. En el caso de los resortes, el factor de escala es $\cos(\sqrt{\lambda} t)$dónde $\lambda$es el valor propio de la moda bajo el $T$operador.

De la discusión anterior podemos formar una definición muy física de "modo":

Un modo es una trayectoria de un sistema físico que no cambia de forma a medida que el sistema evoluciona. En otras palabras, cuando un sistema se mueve en un solo modo, todas las posiciones de sus partes se mueven con la misma dependencia general del tiempo (por ejemplo, movimiento sinusoidal con una sola frecuencia), pero pueden tener diferentes amplitudes relativas.

La definición del Diccionario Libre de "modo" en el contexto de la física es "cualquiera de los numerosos patrones de movimiento ondulatorio o vibración". Sin embargo, esta definición parece ser demasiado amplia e imprecisa. El modo se puede dividir en modo normal y modo casi normal. Un modo normal es una oscilación independiente del tiempo donde la frecuencia y la forma de la onda son invariantes con el tiempo. Un modo casi normal es una perturbación de un campo donde la frecuencia y la forma cambian con el tiempo.

El capítulo 49 de Feynman Lectures on Physics analiza los modos como diferentes resultados obtenidos al confinar ondas de varias maneras dentro de una región finita.

En general, las ondas que se propagan se clasifican según los modos de propagación. Las ondas de sonido, por ejemplo, pueden resultar en varios tipos de movimientos cíclicos de partículas cuando una onda pasa a través de un medio . El modo puede determinarse por las propiedades del medio, así como por la frecuencia de la onda.

Siempre que se trate de una oscilación o vibración u otra repetición regular de movimiento, puede clasificarla como exhibiendo uno u otro modo de movimiento. Cuando tiene "movimiento colectivo de muchas partículas individuales" , que exhiben un movimiento de onda, la clasificación según los modos puede ser una forma apropiada de investigar y clasificar dichos fenómenos.

Lo intentaré de forma más intuitiva. Uno de los aspectos más fundamentales de (no solo) la imagen física del mundo es descomponer la complejidad en partes más simples. Y es aún mejor cuando las piezas del rompecabezas completan la imagen sin espacios ni superposiciones.

Tal cosa (no solo) para las oscilaciones son los modos ortogonales. ¿Qué significan las palabras? "Modo" es "una forma posible de hacer las cosas" y "ortogonal" en realidad significa que las piezas del rompecabezas no se superponen. Mediante la "cooperación" (por ejemplo, combinación lineal, coeficientes de Fourier...) de estas "formas independientes de hacer las cosas" se describe el movimiento complejo. El punto: descomponemos un feo movimiento oscilatorio en algunas "partes más agradables y más comprensibles".

El ejemplo más famoso son las oscilaciones acopladas. Si observa el sistema midiendo las posiciones de las masas medidas desde una pared sólida, verá un desastre. ¡Pero! Si lo ve como una combinación de centro de gravedad y movimiento relativo de masas, entonces ocurre la simplicidad.