Homogeneidad del espacio

El espacio hiperbólico está definido por la restricción,

$$t^2-\vec{x}^2=1 \quad \textbf{(1)},$$ donde pensamos $t$como una coordenada de tiempo y $\vec{x}=(x,y,z)$como una coordenada espacial. Este espacio es homogéneo e isotrópico en las coordenadas espaciales, que es lo que está tratando de probar.

isotropía

Intuitivamente, isotropía significa que desde el origen el espacio se ve igual en todas las direcciones. Formalmente, esto significa que el espacio es invariable bajo rotaciones en el espacio, ya que las rotaciones pueden mapear cualquier dirección en cualquier otra dirección. Por definición, una rotación es una transformación lineal de las coordenadas espaciales que deja$\vec{x}^2 = x^2+y^2+z^2$invariable o sin cambios. Las siguientes tres matrices son rotaciones sobre el$x$,$y$, y$z$ejes respectivamente. Cada rotación se puede escribir como un producto de estas matrices.

$$R_x(\theta) = \left[ \begin{array} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 &\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{array} \right]$$

$$R_y(\theta) = \left[ \begin{array} \ \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0& \cos(\theta) \\ \end{array} \right]$$

$$R_z(\theta) = \left[ \begin{array} \ \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

Donde se entiende que estas matrices están actuando sobre el vector$\vec{x}=\left[x,y,z\right]^T$. Para extender la definición de estos operadores para que actúen sobre el subespacio tridimensional de nuestro espacio de cuatro vectores$x^\mu=[t,x,y,z]^T$usamos la matriz aumentada debajo de la cual dejamos el componente de tiempo solo,

$$\left[ \begin{array} \ 1 & \vec{0}^T \\ \vec{0} & R(\theta) \\ \end{array}\right]$$

En este punto es elemental ver que esta transformación deja la forma cuadrática$t^2-\vec{x}^2$invariante ya que la transformación no cambia el valor de$t$o$\vec{x}^2$.

Homogeneidad

Ahora deseamos establecer que el espacio hiperbólico es homogéneo. Intuitivamente, esto significa que el espacio es el mismo en todos los lugares. Si podemos demostrar que el espacio es isotrópico cuando se ve desde cualquier lugar, habremos establecido la homogeneidad. Matemáticamente, esto significa que debemos demostrar que cada coordenada espacial se puede asignar al origen. Así que necesitamos encontrar una transformación que deje$t^2-\vec{x}^2$invariantes y mapas$\vec{x}\rightarrow \vec{0}$.

Para empezar supongamos que tenemos$\vec{x} = \vec{x}_0=(x_0,y_0,z_0)$. Comenzamos rotando el vector para que sea paralelo al$x$eje. La siguiente transformación logrará esto,

$$\frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}\sqrt{y_0^2+z_0^2}} \left[\begin{array} \ x_0 & \sqrt{y_0^2+z_0^2} & 0 \\ -\sqrt{y_0^2+z_0^2} & x_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & y_0 & z_0 \\ 0 & -z_0 & y_0 \end{array}\right] \left[\begin{array} \ x_0 \\ y_0 \\ z_0 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array} \ \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right]$$

Ahora podemos mapear la coordenada espacial a cero aumentando. Esto tendrá como consecuencia cambiar la$t$coordenada de los cuatro vectores. Desde el$y$y$z$las coordenadas son ambas$0$debido a la rotación, solo escribiremos explícitamente la transformación en las dos dimensiones con entradas distintas de cero$t$y$x$.

$$\left[ \begin{array} \ \cosh(\psi) & \sinh(\psi) \\ \sin(\psi) & \cosh(\psi) \end{array} \right] \left[ \begin{array} \ t_0 \\ \vert \vec{x}_0 \vert \end{array} \right] = \left[ \begin{array} \ \cosh(\psi)t_0+\sinh(\psi)\vert \vec{x}_0 \vert \\ \sinh(\psi) t_0 + \cosh(\psi)\vert \vec{x}_0 \vert \end{array} \right]$$

Vemos que podemos hacer que la última coordenada espacial sea cero si

$$\sinh(\psi) = -\frac{\vert \vec{x}_0 \vert}{\sqrt{t_0^2 - \vec{x}_0^2 }} \qquad \cosh(\psi) = \frac{t_0}{\sqrt{t_0^2-\vec{x}_0^2 }},$$ lo que ciertamente es posible para valores reales de $\psi$siempre y cuando $\vec{x}_0^2 < t_0^2$que está garantizado por la condición $t^2=1+x^2$.

Así que hemos demostrado que cada punto en el espacio se puede mapear al origen.