¿Hay una trayectoria de retorno libre más cercana a un agujero negro?

La trayectoria de un cuerpo balístico, ya sea en física newtoniana o relativista, depende de la energía inicial y del momento angular.

La diferencia es que en la física newtoniana, si la masa es lo suficientemente compacta, el objeto que cae (si se le da una energía cinética inicial) nunca golpeará al objeto central, a menos que sea un golpe directo, y se dispersará hasta el infinito.

Esto también puede ocurrir en GR, pero solo si el momento angular específico supera un umbral que aumenta con la energía inicial de la partícula, pero nunca puede ser menor.$4GM/c$, y tan pequeño como este para un objeto que cae desde el infinito sin energía cinética inicial. Si el momento angular específico es menor que esto, el objeto que cae siempre terminará en el agujero negro (para una trayectoria de caída libre).

Para el caso límite, la aproximación más cercana al agujero negro es$2r_s$, que es el máximo local del potencial efectivo.

Sin embargo, el cuerpo puede acercarse si tiene más momento angular y más energía inicial. Si permitimos que el momento angular y la energía se vuelvan arbitrariamente grandes, entonces el cuerpo puede llegar a$r=1.5 r_s$.

Así que creo que esta es la respuesta que estás buscando. Este es el valor de un agujero negro de Schwarzschild. Para un agujero negro giratorio, las cosas son más complicadas.

EDITAR: Algunos detalles

El potencial efectivo en la métrica de Schwarzschild viene dado por

$$\frac{V_{\rm eff}}{mc^2} = -\frac{r_s}{2r} + \frac{L^2}{2m^2 r^2 c^2} - \frac{r_sL^2}{2m^2r^3c^2}\ ,$$ dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild y$L/m$es el momento angular específico del cuerpo libre.

La ecuación radial del movimiento en términos del tiempo propio$\tau$del cuerpo es

$$\frac{1}{2c^2}\left( \frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{1}{2}\left( \frac{E^2}{m^2 c^4} -1 \right) - \frac{V_{\rm eff}}{mc^2} \ .$$

Para encontrar el máximo local del potencial efectivo, diferencie con respecto a$r$e igualar a cero. Esto le da que el momento angular específico en el máximo es

$$\frac{L^2}{m^2} = \frac{c^2 r_s r^2}{2r - 3r_s}\ .$$

Permitiendo que la energía del cuerpo sea$E = \gamma mc^2$(dónde$\gamma$es el factor de Lorentz) se puede establecer$dr/d\tau = 0$en el radio mínimo de dispersión y luego sustituir el valor por$L^2/m^2$al máximo del potencial efectivo. La razón aquí es que el cuerpo llegará a su punto más cercano cuando tenga una energía correspondiente al máximo en el potencial efectivo. Si tiene más energía que esta, simplemente se sumergirá en el agujero negro. Menos y se dispersará en un radio mayor.

Esta condición te da una ecuación cuadrática en$r$que se puede resolver en términos de$\gamma$. Si$\gamma=1$entonces la cuadrática se convierte en una ecuación lineal con$r=2r_s$. Esto corresponde al caso de una partícula que cae desde el reposo en el infinito y encuentra un máximo local del potencial de$V_{\rm eff}=0$. Luego, el cuerpo se dispersa hasta (justo) el infinito (es decir, el caso marginalmente ligado). Esto se ilustra a continuación, donde la línea morada horizontal es una línea que corresponde a una energía$E/mc^2=1$. El pico en B está en$r=2r_s$dónde$V_{\rm eff}=0$(También he mostrado el potencial newtoniano equivalente para el contraste).

Si usted permite$\gamma$ser mayor que las soluciones viables para el mínimo$r$mentir en los límites$1.5 r_s \leq r \leq 2r_s$. Si$\gamma \rightarrow \infty$entonces el radio mínimo de dispersión$r \rightarrow 1.5r_s$, que también requiere$L/m \rightarrow \infty$. La siguiente gráfica muestra el potencial de$L/m = 10GM/c$, con una línea morada que representa un cuerpo con$E/mc^2=2$que se dispersaría hasta el infinito. El pico en B está justo por encima$r=1.5r_s$.

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