¿Hay estados topológicos no triviales en dimensión cero?

La tabla periódica de aisladores topológicos y superconductores sugiere que puede haber fases topológicas no triviales en dimensión cero en un sistema que no interactúa con ciertas simetrías. Un sistema 0D puede pensarse como un solo átomo, un punto cuántico o cualquier sistema con niveles de energía discretos (sin bandas, sin zona de Brillouin).

¿Existen sistemas 0D físicos que no sean topológicamente triviales , al menos teóricamente? ¿Cómo se define en este caso la invariante topológica y cuál es su significado físico?

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Debido a la periodicidad de Bott, la dimensión d = 0 tiene la misma clasificación de simetría que d = 8 .

Un sistema 0D puede verse como un solo átomo. Puede tener simetría de inversión de tiempo / agujero de partícula, por lo que puede ser topológicamente no trivial. Por definición, no hay dependencia de la posición ni del impulso en un sistema de este tipo, por lo que es difícil tener propiedades no triviales asociadas al transporte.
Por ejemplo, un punto cuántico se puede considerar como 0D para que pueda aplicar la clasificación. Pero la interpretación física de los invariantes es en su mayoría realmente obvia: por ejemplo, para la clase A (es decir, IQHE en 2D), el 0D Z es solo el tu ( 1 ) cargo del sistema. Opino lo mismo para la clase AII (es decir, TI en dos y tres dimensiones). Para la clase D, el Z 2 es la paridad del fermión. No sé inmediatamente la interpretación de Z invariante para la clase BDI.
@MengCheng Está claro que los sistemas 0D son físicos (átomos individuales, puntos cuánticos) y que estos sistemas pueden exhibir varias combinaciones de simetrías antiunitarias (agujero de partículas, inversión de tiempo, quiral, como en la tabla). Pero la pregunta es, ¿hay realizaciones físicas conocidas (al menos teóricamente) de estados topológicos no triviales en sistemas 0D? ¿Alguna referencia tal vez?
@FraSchelle Estoy de acuerdo en que los sistemas 0D no pueden tener estados de borde, por la sencilla razón de que no tienen bordes. Sin embargo, en principio es posible definir una invariante topológica.
@sintetico Dado que está de acuerdo en que los puntos cuánticos son sistemas físicos 0D, bueno, entonces podemos considerar la clase A (lo que significa que solo hay U (1), no hay otra simetría antiunitaria) y poner diferentes cantidades de electrones.
@MengCheng Puede haber otras simetrías antiunitarias en un punto cuántico. Por ejemplo, un punto cuántico en un campo magnético de Zeeman rompe la inversión del tiempo, pero no lo hace sin un campo magnético.
Claro, siempre puedes agregar simetrías. Todo lo que dije es que solo con U (1) hay estados topológicos 0D no triviales.
Tenga cuidado al aplicar la periodicidad de Bott aquí. Los sistemas topológicos como este generalmente tienen operadores de evolución temporal, fermiones NLSM, etc., que se encuentran en una variedad que depende del número de sitios, y la periodicidad de Bott funciona porque la dimensión de esta variedad llega al infinito en el límite termodinámico de un número infinito. de sitios Es probable que un sistema 0D solo tenga un sitio, por lo que, a menos que su modelo apriete mucho ese punto, la periodicidad de Bott no es aplicable.
Además, la periodicidad de Bott está en la dimensión de la esfera mapeada en el espacio objetivo ("la dimensión del grupo de homotopía", en un cierto pero no poco común abuso del lenguaje), no en la dimensión del sistema físico.
@calavicci, el sentido en el que se aplica la periodicidad de Bott es uno en el que la cantidad de niveles de energía del sistema se lleva al infinito. Este no es tanto el límite termodinámico como la aproximación que permite que cada sitio tenga más y más grados de libertad internos. No veo por qué un punto cuántico no podría tener arbitrariamente muchos grados de libertad internos.
Está claro que estamos hablando de la dimensión del hamiltoniano y no del sistema físico. Cero dimensiones significa que el espectro de energía es discreto, no que las dimensiones geométricas de los sistemas físicos sean cero (un punto en el espacio).
@sintético, eso es falso. La dimensión en la tabla periódica de Kitaev se refiere a la dimensión del espacio físico. Ni siquiera sé a qué se referiría con "dimensiones del hamiltoniano" (¿quizás el tamaño de la matriz?).
El tamaño del hamiltoniano no tiene nada que ver con las dimensiones, por supuesto. Pero la dimensión en la tabla periódica no se refiere estrictamente a la dimensión del espacio físico. Imaginemos un hamiltoniano de un sistema unidimensional y parametrizado en función de una variable continua y periódica θ . Este hamiltoniano H ( k , θ ) es claramente bidimensional. Tomemos, por ejemplo, el efecto Hall cuántico 4D, que se define en dos dimensiones espaciales más dos dimensiones "sintéticas".

Respuestas (1)

Parece haber una realización física de un punto cuántico que puede estar en dos fases aislantes. Algo arbitrariamente podemos llamar a una fase ordinaria y a la otra topológica. El punto real es que uno no puede deformar una fase a la otra sin cerrar la brecha. Mi lectura de los siguientes artículos (no soy físico) me dice que lo que sucede en la práctica es que uno ve una fase superconductora entre las dos fases del punto cuántico.

Szombati, DB, et al. ``Josephson unión ϕ0 en puntos cuánticos de nanocables'' Nature Physics 12.6 (2016): 568.

Marra, Pasquale, Roberta Citro y Alessandro Braggio. "Firmas de transiciones de fase topológicas en las discontinuidades de fase actual de Josephson". Revisión Física B 93.22 (2016): 220507.

La razón por la que digo que es algo arbitrario cómo se asigna a una de las fases la etiqueta topológica es que hay rarezas en la definición de la fase. k 2 grupo de C ∗ -álgebras. Estos se remontan a la elección arbitraria que se hace al definir el Pfaffian de una matriz asimétrica.

No hay límite aquí. Lo que uno está viendo es el mismo fenómeno básico que cuando uno perturba un aislador de Chern en un aislador ordinario. Uno obtiene algo así como un comportamiento metálico a granel.

Así que mi respuesta es: sí.

¡Gracias por tu respuesta tan útil! ¿Puedes explicar un poco más por qué la elección es arbitraria a nivel matemático? Por lo que puedo entender de los documentos anteriores, la diferencia entre la fase topológica y la no topológica se justifica por el hecho de que la definición de Pfaffian se puede extender continuamente del caso 0D al 1D (el modelo de Kitaev).
Me remito a los documentos que enumeré en mi respuesta. Hacía tiempo que no los leía. Si el límite del caso 1D nos dice qué fase es topológica, genial. Estaba pensando en el artículo de Kitaev "Tabla periódica para aisladores topológicos y superconductores". Su definición del aislador 0D trivial en la clase D me parece un poco arbitraria. Contraste que el caso en dimensiones superiores. Allí, generalmente identificamos los aisladores con huecos triviales en un sistema con condiciones de contorno periódicas como los que permanecen con huecos cuando se modifica el hamiltoniano para introducir condiciones de contorno abiertos.
En cuanto a las matemáticas, un problema es que es difícil distinguir el Pfaffian con el negativo del Pfaffian. Para el determinante, nos complace ver que la matriz identidad tiene un determinante positivo. Para el Pfaffian, solo estamos viendo matrices simétricas oblicuas. ¿Por qué [0 1; -1 0] obtiene un Pfaffian positivo mientras que [0 -1; 1 0] es negativo? Tampoco es realmente una matriz más simple.
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