¿Hay ausencia de fuerzas centrífugas en el marco giratorio de una polea o en la derivación del rozamiento de la correa?

La ecuación del cabrestante se deriva del supuesto de que el sistema está en equilibrio estático, es decir, no gira. En este caso no hay fuerza centrífuga.

Es necesario que exista una fuerza normal para que exista una fuerza de rozamiento que impida que el cable se deslice contra el bolardo o polea en el que está enrollado. Y si hay tensión en la cuerda, y el ángulo$\theta$es distinto de cero, entonces debe haber una fuerza normal para equilibrar las fuerzas en la sección de cuerda en contacto con el bolardo o la polea.

Las fuerzas de contacto son siempre reales, nunca ficticias. Son ejercidas por objetos reales, y tienen un origen físico.

Si la cuerda está realmente girando, como cuando está enrollada alrededor de una polea, entonces hay una fuerza centrífuga ficticia que actúa sobre ella. Esto reduce la reacción normal entre el cable y la polea y, por lo tanto, también reduce la fuerza de fricción entre el cable y la polea. Sin embargo, generalmente se supone que la cuerda tiene una masa despreciable y que la velocidad angular de la polea es relativamente baja, por lo que la fuerza centrífuga es insignificante.

Un aro que gira en el espacio tiene una tensión real en él. La tensión resultante en cada segmento es radialmente hacia adentro. En un marco inercial, esta tensión es necesaria para explicar la aceleración centrípeta del aro. En un marco giratorio, la fuerza de tensión resultante en cada segmento se equilibra con la fuerza centrífuga ficticia.

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Si hay un par constante en la polea, esto provoca una aceleración angular de la polea y la cuerda. Cada segmento de la cuerda acelera tangencialmente, es decir, su velocidad aumenta mientras se mantiene el par. Mientras la cuerda se mueve en círculo, cada segmento también acelera centrípetamente.

Antes de que la polea haya comenzado a girar, cada segmento de la cuerda está en reposo, por lo que no tiene aceleración centrípeta. La fuerza de tensión resultante sobre él tiene una componente tangencial que provoca una aceleración tangencial. También tiene un componente radial, que se equilibra con la fuerza de contacto normal hacia afuera de la polea.

Cuando la polea se mueve, cada segmento de la cuerda ahora tiene una aceleración centrípeta, por lo que hay una fuerza neta hacia adentro. La componente radial de la tensión no ha cambiado porque el par que actúa sobre la polea no ha cambiado. Lo que ha cambiado es que la fuerza de contacto normal se ha reducido. Esto también reduce la fuerza de fricción estática que acelera la polea.

A medida que aumenta la velocidad angular de la polea, también lo hará la aceleración centrípeta de cada segmento. En algún momento, la fuerza de contacto normal será cero: la cuerda gira con la polea pero ya no presiona contra la polea. La cuerda pierde contacto con la polea y se desplaza hacia el exterior. La fricción ya no puede actuar, por lo que la polea deja de acelerar pero la cuerda no.

Entonces, la fuerza de tensión en la cuerda no aumenta a medida que aumenta la velocidad angular de la polea, a menos que aumente el par. La aceleración centrípeta aumenta a medida que aumenta la velocidad tangencial. Cuando la fuerza de tensión ya no puede proporcionar suficiente aceleración centrípeta, la cuerda se levanta de la polea.

En el marco giratorio vemos que la fuerza centrífuga aumenta gradualmente a medida que aumenta la velocidad angular. Al principio, la fuerza de tensión fija es suficiente para mantener la cuerda presionada contra la polea, pero en algún momento la fuerza centrífuga ha crecido tanto que la fuerza de tensión no puede evitar que la cuerda se levante de la polea y continúe moviéndose hacia afuera.

Si deseáramos asegurarnos de que la cuerda se mantuviera en contacto con la polea a medida que aumentaba su velocidad angular, entonces sí, la componente radial de la fuerza de tensión tendría que aumentar también para proporcionar más aceleración centrípeta. Esto significa que la diferencia entre$T_2$y$T_1$tendria que aumentar. Pero este aumento en el par también aumentaría la velocidad tangencial lo que aumentaría la fuerza centrípeta que se requiere, lo que significa la diferencia entre$T_2$y$T_1$tendría que aumentar aún más, en un círculo vicioso.

El papel de la fricción

Se requiere fricción para transmitir parte del par de la cuerda a la polea para que se acelere. Al igual que con la fricción en el suelo, esto requiere una fuerza normal entre la cuerda y la polea, de lo contrario, la fuerza de fricción es cero. También es necesario que haya una fuerza tangencial ($T_2-T_1 \gt 0$).

Supongamos que empujamos una caja pequeña que descansa sobre una caja grande que descansa sobre un piso sin fricción. (En nuestro caso, la cuerda es la caja pequeña, la polea es la caja grande y el eje de la polea es el piso sin fricción). La fricción entre las dos cajas transmite parte de la fuerza que aplicamos de la caja pequeña a la caja grande. para acelerarlo a la misma velocidad, porque la fricción se opone al movimiento relativo.

Es lo mismo con la cuerda y la polea. La fricción de la cuerda hace que la polea gire. Sin él, la cuerda se deslizaría alrededor de la polea.

La fuerza de contacto normal es una fuerza de reacción. A medida que la polea gira, se necesita parte del componente radial de la tensión para proporcionar fuerza centrípeta. Lo que queda se opone a la fuerza de contacto normal.

A medida que aumenta la velocidad angular, se necesita más fuerza centrípeta, por lo que queda menos y la fuerza normal se hace más pequeña. Esto significa que la fuerza de fricción también se vuelve más pequeña. En algún momento, la fuerza de fricción no es lo suficientemente grande como para mantener la polea girando al mismo ritmo que la cuerda.

Volviendo a las cajas, si la caja pequeña es lo suficientemente pesada cuando la empujamos con una fuerza fija$F$entonces la caja grande también se mueve. Pero si le quitamos algo de peso a la caja pequeña, esto reduce la fuerza de fricción. Llega un punto en el que la fuerza de rozamiento es tan débil que si seguimos empujando con la misma fuerza$F$la caja pequeña se desliza sobre la caja grande. Si queremos mantener la caja grande en movimiento, tenemos que reducir$F$o vuelva a poner peso en la caja pequeña.

De la misma manera con la cuerda, si queremos seguir proporcionando fricción para acelerar la polea, debemos aumentar la suma de las 2 fuerzas de tensión. $T_1, T_2$mientras mantenemos la diferencia igual (esto aumenta la fuerza de contacto normal, como agregar peso a la caja pequeña) o reducimos la diferencia entre las fuerzas de tensión mientras mantenemos la suma igual (esto reduce el torque, como reducir la fuerza$F$aplicamos a la caja pequeña).