¿Hay alguna teoría de calibre SU(∞)SU(∞)SU(\infty) en la teoría cuántica de campos?

Los grupos tu ( norte ) y S tu ( norte ) son los grupos de Lie más importantes en la teoría cuántica de campos. Los más populares son los tu ( 1 ) , S tu ( 2 ) , S tu ( 3 ) (estos grupos de indicadores forman el modelo estándar). Pero ¿se menciona un S tu ( ∞ ) Teoría de calibre en la literatura de física?

Un ejemplo de tal teoría podría ser el siguiente: Puede ser gramo ∈ S tu ( ∞ ) suave y para una función F ( X , y ) con coordenadas espacio-temporales X y el nuevo S tu ( ∞ ) grado de libertad y se mantiene gramo F ( X , y ) = ∫ d 4 y ( gramo ( X , y , y ′ ) F ( X , y ′ ) ) . Ahora es sencillo definir una conexión de calibre y la intensidad del campo de calibre.

En palabras más no teóricas: algunos estados cuánticos tienen degeneraciones y estas degeneraciones se basan en una simetría especial (operador) que existe en un sistema cuántico. Si ahora el operador de simetría de degeneración es unitario y simetría local , se puede definir una teoría de calibre. ¿Se usó este concepto en la mecánica cuántica o tiene sentido?

Otro caso interesante es este: Se puede realizar el siguiente cambio de coordenadas gramo ( X , y , y ′ ) = gramo ( X , X − y , X − y ′ ) y por lo tanto los generadores T a ( y , y ′ ) definido por gramo ( X , y , y ′ ) = ∑ a gramo a ( X ) T a ( y , y ′ ) volverse dependiente de la coordenada del espacio-tiempo. Otra pregunta: ¿Es posible definir generadores dependientes del espacio-tiempo de un álgebra de Lie?

¿Cómo propones definir S tu ( ∞ ) ?
Aquí, las variables internas y ∈ R 4 representar un espacio vectorial de dimensión infinita; este espacio vectorial es un espacio de Hilbert.
S tu ( norte ) ni siquiera es un espacio vectorial.
Además, tu oración no tiene mucho sentido para mí en general. ¿Podrías tratar de reformularlo?
Estoy asumiendo que el gramo es un operador unitario que actúa sobre el grado de libertad interno y . Debido a que los operadores lineales pueden considerarse matrices de dimensión infinita, mientras que los vectores son funciones, hablé sobre las representaciones matriciales de S tu ( ∞ ) .
Antes de definir cualquier representación, ¿puede definir S tu ( ∞ ) ?
El espacio S tu ( ∞ ) se define como el conjunto de todos los operadores mi X pag ( i Λ ) dónde Λ es un operador en el espacio de Hilbert y se cumple t r ( Λ ) = ∫ d 4 y Λ ( y , y ) = 0
estoy bastante seguro S tu ( ∞ ) no es una cosa, pero en la teoría de campos conformes se trata de cosas llamadas álgebras de Kac-Moody (mentira afín) que son extensiones infinitas dimensionales de sus álgebras habituales. Generalmente escrito como tu ^ ( 1 ) , S tu ^ ( 2 ) , etc.

Respuestas (2)

Comentarios a la pregunta (v2):

  1. La idea de considerar el planar grande norte C → ∞ límite en S tu ( norte C ) QCD vuelve a la Ref. 1.

  2. En la teoría de la membrana del cono de luz , iniciada en la Ref. 2, el grupo S tu ( ∞ ) se identifica naturalmente con difeomorfismos que conservan el área S D i F F 0 ( T 2 ) en el toro T 2 conectado con la identidad.

  3. Concretamente, la propuesta de OP se asemeja a una expansión en serie de Fourier de una dimensión espacio-temporal extra (compacta). Estos ejercicios son habituales en la teoría de cuerdas.

Referencias:

  1. G. 't Hooft, Una teoría de diagramas planos para interacciones fuertes, Nucl. física B72 (1974) 461 .

  2. J. Goldstone, inédito; J. Hoppe, MIT Ph.D. Tesis, 1982.

Aparentemente, hay varios miles de referencias a "SU (\ infty)" en arxiv.org, y algunas de ellas definitivamente hablan de campos de calibre o Yang-Mills.

Sospecho que algunas veces, esta será solo una forma de hablar sobre el límite N grande de SU(N), es decir, no se refiere a una teoría de campo SU(∞) literal, sino al límite N→∞ de algunos cantidad en la teoría de campos SU(N).

Gracias por tu respuesta. He preguntado si es posible que los generadores de la límite norte ↦ ∞ S tu ( norte ) grupo son explícitamente dependientes del espacio-tiempo. Los generadores de teorías de Yang-Mills como QCD son matrices constantes (matrices de Gell-Mann), pero ¿es posible para una teoría de campo que los generadores dependan explícitamente de la coordenada del espacio-tiempo?
@kryomaxim Creo que el hecho de que elijas una base para un grupo finito se debe a que es finito. Tendrías que considerar cualquier teoría en la que trabajes sin tener en cuenta la base. Si todo sale bien, supongo que funciona. Estoy haciendo esta analogía con la forma en que los matemáticos manejan espacios vectoriales de infinitas dimensiones.
Incluso para el grupo de Lorentz, con el que deduzco que desea que su SU(N) generalizado conmute, las matrices en sí mismas no dependen de las coordenadas, aunque, por supuesto, representan generadores dependientes de coordenadas. Me pregunto si su pregunta se debe al hecho de que N infinito normalmente delimita conjuntos infinitos de números enteros que, cuando se transforman por Fourier, equivalen a superficies continuas de tipo espacio de fase cf. , como se aborda en la respuesta de Qmechanic en 2 y 3; pero tales superficies son construcciones auxiliares de hojas de mundo, y no nuestro espacio-tiempo.
¿Hay alguna teoría de calibre SU(∞)SU(∞)SU(\infty) en la teoría cuántica de campos?
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