Gravedad superficial de un horizonte Killing

El número (2) se sigue del hecho de que para cualquier función escalar$\Phi(x^{\nu})$, el gradiente$\partial_{\mu} \Phi$es ortogonal al nivel establecido$\Phi(x^{\nu})=const$.

Intuitivamente, esto debería ser cierto ya que$\Phi$no cambia en direcciones tangentes a la hipersuperficie. Una prueba se sigue de la regla de la cadena. Dejar$\gamma^\mu (s)$ser una curva que se encuentra completamente en la hipersuperficie$H$definido por$\Phi(x^{\nu})=c$. Entonces desde$\Phi(\gamma^{\mu}(t))=c$,

$$\frac{d\Phi(\gamma^{\mu}(t))}{dt} = \frac{\partial \Phi}{\partial \gamma^\mu} \frac{d\gamma^{\mu}}{dt} = \partial_\mu \Phi \; \frac{d\gamma^{\mu}}{dt} = 0 .$$ La derivada $\frac{d\gamma^{\mu}}{dt}$de una curva arbitraria en $H$da un vector tangente arbitrario a $H$, entonces $\partial_\mu \Phi$es normal para $H$. Esta es una propiedad de la geometría diferencial y no tiene nada que ver con vectores nulos u horizontes.

En particular, entonces, la magnitud$\xi^2$del campo vectorial Killing es una función escalar en el espacio-tiempo, con el valor constante$\xi^2=0$en el horizonte. Entonces el gradiente$\nabla_\mu \xi^2=\partial_\mu \xi^2$debe ser normal al horizonte.

En cuanto a (1), observe la ecuación de Wald 12.5.18 y el problema 6.4.

La primera vez que doy una respuesta ... ¡espero que ayude!

1) Yendo a las coordenadas de Rindler, en el límite del horizonte cercano del agujero negro de schwarzschild, obtienes que la gravedad de la superficie es precisamente la aceleración constante del observador de Rindler. De hecho, este es el principio de equivalencia en el trabajo: gravitación "=" aceleración.

Para un observador estático, puede hacer un cálculo explícito definiendo las cuatro aceleraciones como$a^{\mu}=U^{\sigma} \nabla_{\sigma} U^{\mu}$, dónde$U^{\mu}$es la velocidad, y tomando el campo de matanza de traducción de tiempo$ξ^{\mu}=\sqrt{-ξ^2} U^{\mu}$. Ver la página del libro de Carroll. 246 como referencia.

2) Por definición, el vector Killing es nulo en el horizonte, por lo que$ξ^2=0$en el horizonte. Además esto significa que es normal para sí mismo y para el horizonte.